高中数学：专题01函数性质方程不等式等相结合问题讲1.docx

第一篇热点、难点突破篇

专题01函数性质、方程、不等式等相结合问题（讲1）

（2021·全国·高考真题）

1.已知，，，则下列判断正确的是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.

【详解】，即.

故选：C.

（2021·全国·高考真题（文））

2.下列函数中最小值为4的是（）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．

【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；

对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；

对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；

对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．

故选：C．

【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．

（2018·全国高考真题（文））

3.设函数，则满足的x的取值范围是

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果.

详解：将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.

点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.

【详解】

（2021·天津·高考真题）

4.设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.

【详解】最多有2个根，所以至少有4个根，

由可得，

由可得，

（1）时，当时，有4个零点，即；

当，有5个零点，即；

当，有6个零点，即；

（2）当时，，

，

当时，，无零点；

当时，，有1个零点；

当时，令，则，此时有2个零点；

所以若时，有1个零点.

综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足

或或，

则可解得a的取值范围是.

【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.

（2019·北京高考真题（理））

5.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．

①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．

【答案】①.130.②.15.

【解析】

【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得的最大值.

【详解】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.

(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元,

元时,李明得到的金额为,符合要求.

元时,有恒成立,即,即元.

所以的最大值为.

【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质?数学的应用意识?数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.

（一）函数问题考向预测

1．以指数函数、对数函数、分式函数、绝对值函数及带二次根号的函数为载体，考查函数的定义域，凸显数学运算的核心素养．

2．考查换元法、待定系数法、解方程组法等在求函数解析式中的应用，凸显数学运算的核心素养．

3．与不等式、方程、指数函数、对数函数相结合考查分段函数求值或求参数问题，凸显分类讨论思想的应用及数学运算的核心素养．

4．考查函数图像的辨识，凸显直观想象的核心素养．

（二）本专题考向展示

（一）函数性质与不等式

1．函数性质的综合应用主要是指利用函数的单调性、奇偶性、周期性等性质来相互转化解决相对综合的问题．奇偶性主要转化方向是f(－x)与f(x)的关系，图象对称问题；单调性主要转化方向是最值、方程与不等式的解；周期性主要转化方向是利用f(x)＝f(x＋a)把区间外的函数转化到区间内，并结