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17．3一元二次方程根的判别式

一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)

我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的根的判别式，用△表示．???

?方程有两个不相等的实数根?????方程有两个相等的实数根方程有两个没有实数根

例1．不解方程，判别下列方程的根的情况（1）3x2－x＋1=3x（2）5（x2＋1）=7x（3）x2－4x=－4（4）2x2－kx=1

例1：已知关于x的一元二次方程当k取什么值时，方程有两个不相等的实数根？

(2)当k取什么值时，方程有实数根？例2：已知关于x的方程(1)当k取什么值时，方程有两个不相等的实数根？

若关于x的一元二次方程（k-1）x2+2kx+k+3=0有实数根，求k的取值范围。?练一练变式：若关于x的方程（k-1）x2+2kx+k+3=0有实数根，求k的取值范围。

达标练习一、选择题：1、已知关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根，则k的取值范围是（）Ａ）k１Ｂ）k≤１Ｃ）k１且k≠0Ｄ）k≤１且k≠02、若关于y的方程ay２-4y+１＝0有实数根，则a的最大整数值为（）A）0B）4C）0或4D）3DB

解：Δ=[-(3m-1)]2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m=m2-2m+1=(m-1)2∴(m-1)2=1，即m1＝2，m2＝0(二次项系数不为0，舍去)．当m=2时，原方程变为2x2-5x+3＝0，x＝3/2或x=1．8．关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根．

例2．在一元二次方程()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．根的情况无法

例3．设关于x的方程，证明：不论m为何值，这个方程总有两个不相等的实数根所以，不论m为何值，这个方程总有两个不相等的实数根．

求证：不论m取何值，关于x的一元二次方程9x2-（m+7）x+m-3=0都有两个不相等的实数根证明：⊿=[-（m+7）]2-4×9×（m-3）=m2+14m+49-36m+108=m2-22m+157=（m-11）2+36∵不论m取何值，均有（m-11）2≥0∴（m-11）2+36＞0，即⊿＞0∴不论m取何值，方程都有两个不相等的实数根小结：将根的判别式化为一个非负数与一个正数的和的形式

【例4】已知：a、b、c是△ABC的三边，若方程有两个等根，试判断△ABC的形状．解：利用Δ＝0，得出a=b=c．∴△ABC为等边三角形．典型例题解析

拓展练习：若关于x的一元二次方程x2+2x-m+1=0没有实数根，求证：关于y的方程y2+my+12m=1一定有两个不相等的实数根．

要点、考点聚焦1．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况：(1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；(2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；(3)当Δ＜0时，方程无实数根．2．根据根的情况，也可以逆推出Δ的情况，这方面的知识主要用来求取值范围等问题．

1．求判别式时，应该先将方程化为一般形式．2．应用判别式解决有关问题时，前提条件为“方程是一元二次方程”，即二次项系数不为0．方法小结：