2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第60讲n次独立重复试验及二项分布教师版.docVIP

第60讲n次独立重复试验及二项分布

思维导图

知识梳理

1．条件概率及其性质

(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝eq\f(P?AB?,P?A?)(P(A)>0)．

在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝eq\f(n?AB?,n?A?).

(2)条件概率具有的性质

①0≤P(B|A)≤1；

②如果B和C是两个互斥事件，

则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．

2．相互独立事件

(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件．

(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．

P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)．

(3)若A与B相互独立，则A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与B，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也都相互独立．

(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．

3．独立重复试验与二项分布

(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．

(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数．设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．

题型归纳

题型1条件概率

【例1-1】(1)已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未损坏，则这个元件使用寿命超过2年的概率为()

A．0.75 B．0.6

C．0.52 D．0.48

(2)将三颗骰子各掷一次，记事件A为“三个点数都不同”，B为“至少出现一个6点”，则条件概率P(A|B)＝__________，P(B|A)＝________.

【解析】(1)设一个这种元件使用到1年时还未损坏为事件A，使用到2年时还未损坏为事件B，则由题意知P(AB)＝0.6，P(A)＝0.8，则这个元件使用寿命超过2年的概率为P(B|A)＝eq\f(P?AB?,P?A?)＝eq\f(0.6,0.8)＝0.75，故选A.

(2)P(A|B)的含义是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，即在“至少出现一个6点”的条件下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个6点”有6×6×6－5×5×5＝91种情况，“至少出现一个6点，且三个点数都不相同”共有Ceq\o\al(1,3)×5×4＝60种情况，所以P(A|B)＝eq\f(60,91).P(B|A)的含义是在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，即在“三个点数都不相同”的条件下，“至少出现一个6点”的概率，因为“三个点数都不同”有6×5×4＝120种情况，所以P(B|A)＝eq\f(60,120)＝eq\f(1,2).

【答案】(1)A(2)eq\f(60,91)eq\f(1,2)

【跟踪训练1-1】某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为eq\f(1,2)，两次闭合后都出现红灯的概率为eq\f(1,5)，则开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为________．

【解析】设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“开关第二次闭合后出现红灯”为事件B，则“开关两次闭合后都出现红灯”为事件AB，“开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯”为事件B|A，由题意得P(B|A)＝eq\f(P?AB?,P?A?)＝eq\f(2,5).

【答案】eq\f(2,5)

【跟踪训练1-2】现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地一次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为________．

【解析】法一：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则P(B|A)＝eq\f(P?AB?,P?A?)＝eq\f(\f(3×2,A\o\al(2,5)),\f(3,5))＝eq\f(1,2).

法二：在第1次抽到理科题的条件下，还有2道理科题和2道文科题，故在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为eq\f(1,2).

【答案】eq\f(1,2)

【名师指导】

条件概率的3种求法

定义法

先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq\f(P?AB?,P?A?)求P(B|A)

基本事件法

借助古典概型概率公式