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第36讲数列求和(达标检测)
[A组]—应知应会
1.已知数列的前项和为,,则
A. B. C. D.
【分析】本题根据数列通项公式的特点可先求出连续奇偶项的和,然后运用分组求和法可计算出的值,得到正确选项.
【解答】解:由题意,令,则
当为奇数时,为偶数,
,
.
故选:.
2.已知数列满足,则
A. B. C. D.
【分析】本题先根据公式法计算出数列的通项公式,然后计算出的表达式并根据表达式的特点进行裂项,最后计算时相消即可得到结果.
【解答】解:由题意,可知
,
则,
.
故选:.
3.已知数列满足:,则数列的前项和为
A. B. C. D.
【分析】在中取为,得到,两式相减求得,再用裂项累加即可.
【解答】解:在中,取,易得
数列满足:①,
②,
②①可得,,也满足).
,
则数列的前项和.
故选:.
4.已知数列满足:,.正项数列满足:对于每个,,且,,成等比数列,则的前项和为
A. B. C. D.
【分析】运用数列的累乘法求得,再由等比数列的中项性质可得,再由数列的裂项相消求和,计算可得所求和.
【解答】解:,
可得,
由,可得
,
可得,
由,,成等比数列,
可得,
可得,
则,
所以
.
故选:.
5.数列是首项和公差都为1的等差数列,其前项和为,若是数列的前项和,则
A.1 B. C. D.
【分析】由题意,,,即可得,累加即可.
【解答】解:由题意,,故,
于是,
,
故选:.
6.已知等差数列满足,,设数列的前项和为,则
A.32 B.28 C.128 D.0
【分析】设公差为,运用等差数列的通项公式,解方程可得首项和公差,再讨论数列的项的符号,由等差数列的求和公式可得所求和.
【解答】解:设公差为,由,,
可得,,解得,,
故,
易知当时,,当时,,且,,
则.
故选:.
7.等差数列中,,,是数列的前项和,则
A. B. C. D.
【分析】等差数列的公差设为,由等差数列的通项公式,解方程可得首项和公差,由等差数列的求和公式可得,,再由数列的裂项相消求和,计算可得所求和.
【解答】解:等差数列的公差设为,
由,,可得,,
解得,
可得,
则,
可得则.
故选:.
8.已知数列的前项和为,满足,且数列的前6项和等于321,则的值等于
A. B. C.1 D.2
【分析】先由题设条件得到:,再由求得,进而求得,再由其前6项和等于321求得的值.
【解答】解:依题意得:当时,有,解得:;
当时,由,
两式相减可得:,
即:,
故,,
故数列的前6项和为.
令①,则②,
由①②可得:,
则,
,
解得:.
故选:.
9.公元1202年意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,,即,.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.若记,数列的前项和为,则
A.0 B.1 C.2019 D.2020
【分析】直接利用关系式的变换求出数列为等比数列.进一步利用分组法求出数列的和.
【解答】解:由题意知,
由于,
所以,
所以.
故选:.
10.(多选)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,.,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”,记为数列的前项和,则下列结论正确的是
A.
B.
C.
D.
【分析】根据数列的特点,求出其递推关系式;再对每一个选项逐个检验即可
【解答】解:.由,,,可得成立;
.由,,,可得,;
成立;
.由,,,,,可得:.
故是斐波那契数列中的第2020项.即答案成立;
.斐波那契数列总有,
则,,,,
,
;
;即答案成立
故选:.
11.(多选)已知数列是递增的等差数列,,.,数列的前项和为,下列结论正确的是
A. B.
C.当时,取最小值 D.当时,取最小值
【分析】由已知求出数列的首项与公差,得到通项公式判断与;再求出,由的项分析的最小值.
【解答】解:在递增的等差数列中,
由,得,
又,联立解得,,
则,.
.
故正确,错误;
可得数列的前4项为负,第5项为正,第六项为负,第六项以后均为正.
而.
当时,取最小值,故正确,错误.
故选:.
12.设数列的前项和为,且,,则.
【分析】由已知数列递推式,可得,再由累积法求数列的通项公式,然后利用裂项相消法求和.
【解答】解:由,①
得当时,,②
①②得:,
即,则:
,
,
,
,
.
累乘可得:,
又,,
则
.
故答案为:.
13.若数列的前项和为,,则的值为.
【分析】先对分当,与,两类研究,进而得到与,然后分别求出与即可求得的值.
【解答】解:,
当,时,有;
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