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《抛物线》达标检测
[A组]—应知应会
1.已知抛物线y2=8x,那么其焦点到准线的距离是()
A.2 B.4 C.6 D.8
【分析】直接利用抛物线的标准方程,转化求解即可.
【解答】解:抛物线y2=8x,那么其焦点到准线的距离是:4.
故选:B.
2.已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=()
A.2 B.3 C.6 D.9
【分析】直接利用抛物线的性质解题即可.
【解答】解:A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,
因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等,
故有:9+=12?p=6;
故选:C.
3.设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l.P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线()
A.经过点O B.经过点P
C.平行于直线OP D.垂直于直线OP
【分析】不妨设抛物线的方程为y2=4x,不妨设P(1,2),可得可得四边形QAFP为正方形,根据正方形的对角线互相垂直可得答案.
【解答】解:不妨设抛物线的方程为y2=4x,则F(1,0),准线为l为x=﹣1,
不妨设P(1,2),
∴Q(﹣1,2),
设准线为l与x轴交点为A,则A(﹣1,0),
可得四边形QAFP为正方形,根据正方形的对角线互相垂直,
故可得线段FQ的垂直平分线,经过点P,
故选:B.
4.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点A为抛物线C上第一象限上的点,B为l上一点,满足,则直线AB的斜率为()
A. B. C.3 D.
【分析】作出图形,根据抛物线的定义及已知条件可得直线AB的斜率,进而得解.
【解答】解:作出图形,过点A作AD⊥直线l,垂足为D,由抛物线的定义可知,|AD|=|AF|,设|AF|=m,
∵,
∴|FB|=2|AF|=2m,
∴,
设直线AB的倾斜角为θ,则,
∴直线AB的斜率为.
故选:D.
5.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点(p,0)且垂直于x轴的直线与抛物线C在第一象限内的交点为A,若|AF|=1,则抛物线C的方程为()
A. B.y2=2x C.y2=3x D.y2=4x
【分析】求出抛物线的焦点坐标,求出A的坐标,利用|AF|=1,求解p,然后推出抛物线方程.
【解答】解:抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(,0),过点(p,0)且垂直于x轴的直线与抛物线C在第一象限内的交点为A(p,p),
因为|AF|=1,所以,
解得p=.
抛物线C的方程为.
故选:A.
6.焦点为F的抛物线C:y2=4x的对称轴与准线交于点E,点P在抛物线C上,在△EFP中,sin∠EFP=sin∠FEP,则|EP|的值是()
A. B.4 C.2 D.1
【分析】设PE的倾斜角为α,利用已知条件求出α的大小,判断PHEF的形状,然后求解即可.
【解答】解:过P(x轴上方)作准线的垂线,垂足为H,
则由抛物线的定义可得|PF|=|PH|,由sin∠EFP=?sin∠FEP,
则△PFE中由正弦定理可知:则|PE|=|PF|,
∴|PE|=|PH|,
设PE的倾斜角为α,则cosα===,
α=,四边形PHEF是正方形,
所以:|PE|=2.
故选:A.
7.已知第四象限内抛物线y2=16x上的一点M到y轴的距离是该点到抛物线焦点距离的,则点M的坐标为()
A.(1,﹣8) B.(1,﹣4) C. D.
【分析】由抛物线的性质,可知焦点的距离等于到准线的距离,求出P的横坐标,然后求出点M的坐标.
【解答】解:由抛物线的方程可得准线方程为x=﹣4,设P的横坐标为x0,
第四象限内抛物线y2=16x上的一点M到y轴的距离是该点到抛物线焦点距离的,
则,所以x0=1,
所以y0=﹣4,所以M(1,﹣4).
故选:B.
8.抛物线y=的焦点到圆C:x2+y2﹣6x+8=0上点的距离的最大值为()
A.6 B.2 C. D.
【分析】求出拋物线的焦点为F(0,4),圆的圆心坐标与半径,然后求出F到圆C上点的距离的最大值.
【解答】解:拋物线的焦点为F(0,4),
圆x2+y2﹣6x+8=0的圆心为C(3,0),半径r=1,
F到圆C上点的距离的最大值为.
故选:A.
9.过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线C交于A,B两点,且,直线AB与抛物线C的准线l交于点D,AA1⊥l于A1,若△AA1D的面积等于,则p=()
A. B.2 C. D.4
【分析】分别求得抛物线的焦点和准线方程,设出|BF|=t,可得|AF|=3t,|AB|=4t,过B作BN⊥l于N,运用抛物线的定义和三角形相似的性质,以及三角形的面积
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