福建省漳州市平和正兴学校2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（含答案解析）.docx

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福建省漳州市平和正兴学校2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列求导运算正确的是（????）

A． B．

C． D．

2．已知，若三向量共面，则实数等于（???）

A．4 B．3 C．2 D．1

3．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（????）

A． B． C． D．

4．在空间直角坐标系中，已知，则点到直线的距离是（????）

A． B． C． D．

5．已知函数的定义域为，对任意，有，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．既不充分又不必要条件 D．充要条件

6．已知正方体的棱长为是棱的中点，若点在线段上运动，则点到直线的距离的最小值为（???）

A． B． C． D．

7．设，则（????）

A． B．

C． D．

8．已知函数有两个极值点，，若不等式恒成立，那么的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．【多选】如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，则下列结论正确的为（????）

??

A． B．

C． D．为平面的一个法向量

10．已知向量，，，则（??）

A． B．在上的投影向量为

C． D．向量共面

11．已知函数，，若直线与曲线和分别相交于点，，，，且，，则（????）

A． B． C． D．

三、填空题

12．在三棱锥中，和都是等边三角形，，D为AB中点，则的值是．

13．如图，四边形是正方形，平面，且，是线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为.

14．已知，，则的最小值为.

四、解答题

15．已知函数．

(1)求函数的图象在点处的切线方程；

(2)求函数的单调区间．

16．如图，在直三棱柱中，，点是棱上的一点，且，点是棱的中点．

(1)求证：平面平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

17．如图，棱柱的所有棱长都等于2，且，平面平面．

(1)求平面与平面所成角的余弦值；

(2)在棱所在直线上是否存在点P，使得平面．若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

18．已知函数

(1)当时，求函数的极值；

(2)求函数的单调区间；

(3)若对任意的实数，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”．当时，若函数是“恒切函数”，求证：．

19．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若不等式恒成立，求的取值范围；

(3)当时，试判断函数的零点个数，并给出证明．

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参考答案：

1．D

【分析】由基本初等函数求导法则，导数四则运算以及复合函数求导法则运算即可逐一判断每个选项.

【详解】，，，.

故选：D.

2．C

【分析】利用向量共面定理，设，列出方程组，解出即可.

【详解】因为三向量共面，设，

所以，即，解得，

故选：C.

3．D

【分析】求出函数的导数，再利用给定单调区间及单调性列出列式，分离参数求解即得.

【详解】函数，求导得，

由在上单调递增，得，，而恒有，

则，又时，，在上单调递增，

所以实数a的取值范围是.

故选：D

4．A

【分析】利用空间向量法求出点到直线距离即可.

【详解】，，

.

故选：A.

5．A

【分析】根据题意，构造函数，可得函数在上单调递增，再根据函数单调性解得，由充分性必要性的定义，即可得到结果.

【详解】因为，则，

令，则，所以在上单调递增.

，

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选：A.

6．D

【分析】以点D为原点，建立空间直角坐标系，借助空间向量结合二次函数求解作答.

【详解】在棱长为2的正方体中，以分别为轴建立空间直角坐标系，

则有，则，

设点，

则点到直线的距离

，

当且仅当时取等号，则点到直线的距离的最小值为.

故选：D.

7．A

【分析】构造函数，利用函数单调性确定大小，通过作差，判断正负即可确定大小即可.

【详解】设，则，得，

则在上单调递增，在上单调递减，

，则，

又，得，

所以，

故选：A

8．D

【分析】由题意可得，由函数有两个极值点，，可得方程在上有两个不相等的正实数根，由根与系数的关系可求得的取值范围，由，令，利用导数研究其范围即可．

【详解】函数的定义域为，且，

因为函数有两个极值点，，

所以方程在上有两个不相等的正实数根，

则，解得．

因为

，

设，

，易知在上恒成立，

故在上单调递