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专题41菱形的折叠问题
1ABCD∠B60°BC2cmMABNBCB△BMN
、在菱形中,=,=,为的中点,为上一动点(不与点重合),将
沿直线MN折叠,使点B落在点E处,连DE,CE,当△CDE为等腰三角形时,线段BN的长为
_____
.
【解析】
【分析】
当△CEB′为直角三角形时,有两种情况:
①B′1
当点落在矩形内部时,如图所示.
连结AC,先利用勾股定理计算出AC=5,根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°,而当△CEB′为直角三角形时,
∠EB′C=90°AB′C∠BAEBACB′
只能得到,所以点、、共线,即沿折叠,使点落在对角线上的点处,则
EB=EB′AB=AB′=3CB′=2BE=xEB′=xCE=4-xRt△CEB′
,,可计算出,设,则,,然后在中运用勾股定理可
x
计算出.
②当点B′落在AD边上时,如图2所示.此时ABEB′为正方形.
【详解】
当△CEB′为直角三角形时,有两种情况:
①B′1
当点落在矩形内部时,如图所示.
连结AC,
在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,
∴AC=42+32=5,
∵∠B沿AE折叠,使点B落在点B′处,
∴∠AB′E=∠B=90°,
当△CEB′为直角三角形时,只能得到∠EB′C=90°,
∴AB′C∠BAEBACB′
点、、共线,即沿折叠,使点落在对角线上的点处,
∴EB=EB′,AB=AB′=3,
∴CB′=5-3=2,
设BE=x,则EB′=x,CE=4-x,
在Rt△CEB′中,
222
∵EB′+CB′=CE,
3
222
∴x+2=4-xx=
(),解得,
2
3
∴BE=;
2
②当点B′落在AD边上时,如图2所示.
此时ABEB′为正方形,
∴BE=AB=3.
3
BE3
综上所述,的长为或.
2
故选D.
【点睛】
本题考查了折叠问题:折叠前后两图形全等,即对应线段相等;对应角相等.也考查了矩形的性质以及勾
股定理.注意本题有两种情况,需要分类讨论,避免漏解.
2ABCDAB=2∠ABC=30°EDA△CDECE
、如图,四边形是菱形,,,点是射线上一动点,把沿折叠,其
DD′CD′ABCDDE_____
中点的对应点为点,若垂直于菱形的边时,则的长为.
【解析】
【分析】
3
作CH^AB于H,如图,根
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