2024人教九年级下册数学《第3招 根的判别式的八种常见应用》PPT教学课件.pptx

人教版九年级下第3招根的判别式的八种常见应用典例剖析已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0.例解题秘方：一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：1．不解方程，由根的判别式的正负性及是否为0可直接判定根的情况．2．根据方程根的情况，结合根的判别式来确定方程中待定字母的值或取值范围．若二次项系数中含有字母，则应注意检验二次项系数是否为零．3．应用判别式证明方程根的情况(有实根、无实根、有两个不等的实根、有两个相等的实根)．(1)求证：方程总有两个不等的实数根；证明：∵关于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0是一元二次方程，∴Δ＝[－(2m＋1)]2－4m(m＋1)＝10.∴方程总有两个不等的实数根．(2)已知方程的一个根为x＝0，求代数式(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5的值(要求先化简再求值)．解：∵x＝0是此方程的一个根，∴把x＝0代入方程中得到m(m＋1)＝0.∴m＝0或m＝－1.(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5＝4m2－4m＋1＋9－m2＋7m－5＝3m2＋3m＋5，把m＝0代入3m2＋3m＋5得3m2＋3m＋5＝5；把m＝－1代入3m2＋3m＋5得3m2＋3m＋5＝3×1－3＋5＝5.综上，原代数式的值为5.分类训练应用1利用根的判别式判断含字母系数的方程的根的情况1.已知关于x的方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断关于x的方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无实数根．【解】∵x2－2x－m＝0没有实数根，∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m0，即m－1.∴对于方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0，Δ2＝(2m)2－4·m(m＋1)＝－4m4，∴方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有两个不相等的实数根．【点方法】由x2－2x－m＝0无实数根得出m＜－1，从而得到方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0的根的判别式的值－4m＞4，故该方程有两个不相等的实数根．应用2利用根的判别式求方程中待定字母的值或取值范围1.[2023·北师大附中期中]已知关于x的方程x2－6x＋4－m＝0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；【解】根据题意得b2－4ac＝(－6)2－4(4－m)＞0，解得m＞－5.(2)当m取满足条件的最小整数值时，求此时方程的解．【解】∵m＞－5，∴m的最小整数值为－4，此时方程为x2－6x＋8＝0，则(x－2)(x－4)＝0，解得x1＝2，x2＝4.应用3利用定义法解方程与函数问题3.已知关于x的一元二次方程kx2－(4k＋1)x＋3k＋3＝0(k是整数)．(1)求证：方程有两个不等的实数根．【点拨】根据所给方程求出判别式Δ，再证明判别式Δ0；【证明】∵a＝k≠0，b＝－(4k＋1)，c＝3k＋3，∴Δ＝[－(4k＋1)]2－4k(3k＋3)＝(2k－1)2.∵k是整数，∴2k－1≠0.∴Δ＝(2k－1)20.∴方程有两个不等的实数根．(2)若方程的两个实数根分别为x1，x2(其中x1x2)，设y＝x2－x1，判断y是不是变量k的函数，如果是，请写出y关于k的函数解析式；如果不是，请说明理由．【点拨】先根据求根公式求出一元二次方程的根，再结合已知条件表示出方程的两根，求得函数解析式．应用4利用根的判别式求方程的整数解问题4.[2023·北京101中学月考]已知关于x的方程mx2＋(3－m)x－3＝0(m为实数，m≠0)．(1)试说明：此方程总有两个实数根．(2)如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值．应用5利用根的判别式确定三角形的形状5.已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；【解】△ABC是等腰三角形．理由：∵x＝－1是方程的根，∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0.∴a＋c－2b＋a－c＝0.∴a－b＝0.∴a＝b．∴△ABC是等腰三角形．(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；【解】△ABC是直角三角形．理由：∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形．(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【解】如果△ABC是等边三角形，那么a＝b＝c．当a＝b＝c时，原方程可整理为2ax2＋2ax＝0.∴x2＋x＝0.解得x1＝0，x2＝－1.【点方法】本题将方程根的判别式与三角形结合在一起进行考查，解题时根据给出的条件灵活运用即可．应用6利用根的判别式解反比例函数图象与一次函数图