专题5.35 用二次函数解决问题解题方法专题（例题讲解）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（苏科版）.docxVIP

专题5.35 用二次函数解决问题解题方法专题 （例题讲解）（专项练习） 二次函数的应用解题方法： 【基本思想】 一、转化思想————实际问题中的最优化问题转化为求二次函数的最值问题。 1、方案设计最优问题:（1）费用最低；（2）利润最大；（3）储量最大等等。 2、面积最优化问题:全面观察几何图形的结构特征,挖掘出相应的内在联系,列出函数和自变量内在等式,转化为函数解析式,求最值问题。 二、建模思想————从实际问题中发现、提出、抽象、简化、解决、处理问题的思维过程。 1、建立图象模型:自主建立平面直角坐标系,构造二次函数关系式解决实际问题； 2、方程模型和不等式模型:根据实际问题中的数量关系,列出方程或不等式转化为二次函数解决问题； 3、根据实际问题情境抽象岀二次函数模型。 三、运动思想 由给出的已知条件及图像上的动点问题和几何图形的形状的确定；找出等量关系，建立函数关系式； 【最值的确定方法】 1、二次函数在没有范围条件下的最值: 二次函数的一般式y=ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式y=a（x-h）2+k(a≠0)如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值). 2、二次函数在有条件范围下的最值: 如果自变量的取值范围是，如果顶点在自变量的取值范围,内,则当,如果顶点不在此范围内,则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性，从而确定最值。 【典型例题】 类型一、图形+图形运动问题 1．（2022·山东威海·中考真题）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值． 【答案】288m2 【分析】设与墙平行的一边为xm（x≤25），则与墙垂直的一边长为m，设鸡场面积为ym2，根据矩形面积公式写出二次函数解析式，然后根据二次函数的性质求出最值即可． 解：设与墙平行的一边为xm（x≤25），则与墙垂直的一边长为m，设鸡场面积为ym2， 根据题意，得， ∴当x=24时，y有最大值为288， ∴鸡场面积的最大值为288m2． 【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确列出二次函数解析式． 举一反三： 【变式1】（2022·湖南湘潭·中考真题）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题： (1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长； (2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？ 【答案】(1)CG长为8m，DG长为4m(2)当BC=m时，围成的两块矩形总种植面积最大=m2 【分析】（1）两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，设CG为am，DG为(12-a)m，再由矩形面积公式求解； （2）设两块矩形总种植面积为y， BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，围成的两块矩形总种植面积最大=BC×DC，代入有关数据再把二次函数化成顶点式即可 . （1）解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m， 设CG为am，DG为(12-a)m，那么 AD×DC-AE×AH=32 即12×3-1×（12-a）=32 解得：a=8 ∴CG=8m，DG=4m． 解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm， DC=(21-3x)m，由题意得， 两块矩形总种植面积=BC×DC 即y=x·(21-3x) ∴y=-3x2+21x =-3(x-)2+ ∵21-3x≤12 ∴x≥3 ∴当BC=m时，y最大=m2． 【点拨】此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意找到等量关系列出方程． 【变式2】（2020·江苏扬州·中考真题）如图，已知点、，点P为线段AB上的一个动点，反比例函数的图像经过点P．小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．” （1）当时． ①求线段AB所在直线的函数表达式． ②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值． 若小明的说法完全正确，求n的取值范围． 【答案】（1）①；②不完全同意小明的说法；理由见详解；当时， 有最大值；当时，有最小值；（2）； 【分析】（1）①直接利用待定系数