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模糊判断矩阵的扩展及其应用 水库防洪计划通常受当前段不确定预测移民信息的限制。决策通常只会影响当前或将来的多个周期，其决策的实时性要求很高。在整个预算编制过程中，很难确定哪种方案最合适的预算编制方案。因此, 近年来许多学者开始研究可行解的评价技术, 以便选取一个或者几个满意方案。Cheng和Chau综述了多目标决策模型在水资源规划和运行阶段的应用, 这些应用包括:Despic和Simonovic、Bender和Simonovic、Raju和Pillai等。防洪决策是一项相当复杂, 责任重大的决策行动, 属于事前决策、风险决策和群决策。水库作为主要的防洪工程措施之一, 其防洪调度决策亦具有类似的特点。针对水库防洪调度决策的群决策性, 在防洪调度多目标半结构性决策理论的基础上, 本文将对水库防洪调度模糊群决策方法进行研究。 1 确定相对优属度 设由n个可行方案组成的调度决策方案集为D= (d1,d2, …,dn) ,dj为第j个方案,j=1, 2, …,n。每个方案的优劣由m=m1+m2个目标来衡量, 其中有m1个定性目标,m2个定量目标。目标相对优属度矩阵由定性目标与定量目标相对优属度矩阵综合而成, 并且在确定定性与定量目标相对优属度时, 要具有相对统一标准。定性和定量目标相对优属度的确定过程详见文献。综合后的目标相对优属度矩阵R可表示为 R=[r111r112?r11nr121r122?r12n????r1m11r1m12?r1m1nr211r212?r21nr211r222?r22n????r2m21r2m22?r2m2n]=[r11r12?r1nr21r22?r2n????rm1rm2?rmn]=(rij)(1) 式中:rij为第j个方案对于第i个目标的相对优属度,i=1, 2, …,m,j=1, 2, …,n。 设目标权向量为W= (w1,w2, …,wm) ,m∑i=1wi=1, 应用文献中的多级模糊优选模型 uhj=1c∑k=1m∑i=1[wi(rij-sh]?2m∑i=1[wi(rij-sk)]?2(2) 式中:sh和sk为级别中心,h,k=1, 2, …,c,c为级别数,j=1, 2, …,n, 可以确定各方案的相对隶属度, 进而可以推求其级别特征值, 根据级别特征值的排序来评价各方案。 2 确定模糊判断矩阵 研究两两方案比较而得到的群组判断矩阵是群决策分析的一个重要方面。在进行两两比较时, 由于受到经验知识、个人偏好等因素的影响, 决策者很难给出满足完全一致性的模糊判断矩阵。为此, 本文首先引入数学转换将决策者给出的模糊判断矩阵转换为满足完全一致性的模糊判断矩阵, 然后通过简单加权集结方法将个人偏好集结为群体偏好, 利用前述的多级模糊优选模型求解。 设有限决策方案集 (或目标集) 为D= (d1,d2, …,dn) ,dj为第j个方案 (或目标) ,j=1, 2, …,n。下面给出关于模糊判断矩阵的一些描述。 定义1。设二元对比矩阵P= (pij)n×n, 若满足 (1)pii=0.5, ?i; (2)pij+pji=1, ?i,j,i≠j, 则称矩阵P为模糊判断矩阵。 定义2。对于模糊判断矩阵P= (pij)n×n, 若满足pij=0.5+pir-pjr, ?i,j, 则称矩阵P具有完全一致性。 定理1。对于模糊判断矩阵P= (pij)n×n, 通过如下数学变换 bij=0.5+1n[n∑l=1pil-n∑l=1pjl],?i,j(3) 建立的矩阵B= (bij)n×n具有完全一致性。 证明:由于bii=0.5+1n[n∑l=1pil-n∑l=1pil]=0.5?bij+bji=1, 则矩阵B为模糊判断矩阵。而bij=0.5+1n[n∑l=1pil-n∑l=1pil]=0.5+[0.5+1n(n∑l=1pil-n∑l=1prl)]-[0.5+1n(n∑l=1pjl-n∑l=1prl)]=0.5+bir-bjr。由定义2可知, 矩阵B具有完全一致性。 假设有K个决策者DM1,DM2, …,DMk参与决策, 第k个决策者DMk针对方案集 (或目标集) 给出的模糊判断矩阵为P(k)= (p(k)ij)n×n,αk为第k个决策者的权重, 满足αk>0?m∑k=1αk=1。记集结后的群模糊判断矩阵为P·= (p·ij)n×n。为了得到群的判断矩阵, 可建立下列最优化模型: minJ=12m∑k=1αkn∑i=1n∑j=1(p?ij-p(k)ij)2(4) 定理2 设群的判断矩阵为P·= (p·ij)n×n, 则有p?ij=m∑k=1αkp(k)ij。 证明:由于?J?p?ij=m∑k=1αk(p?ij-p(k)ij)=p?ij-m∑k=1αkp(k)ij, 令?J?p?ij=0, 可得p?ij=m∑k=1αkp(k)