专题01 特殊的平行四边形中的最值模型-将军饮马模型（解析版）.docx

专题01 特殊的平行四边形中的最值模型--将军饮马模型 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 在解决将军饮马问题主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短；涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。 模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型） 【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小； （1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧： 【最值原理】两点之间线段最短。 上图中A’是A关于直线m的对称点。 例1．（2022·山东德州·统考中考真题）如图，正方形的边长为6，点在上，，点是对角线上的一个动点，则的最小值是（????） ?? A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，根据正方形的对称性可得，进而可知，再利用，，三点共线时，的值最小，将转化为，最后运用勾股定理即可解答． 【详解】如图，连接，，、关于对称，， 当，，三点共线时，的值最小，即的值最小， ，，由勾股定理得：， 即的最小值为，故选C． ?? 【点睛】本题考查了运用轴对称解决最短路径问题、勾股定理的应用、正方形的性质，明确当，，三点共线时，有最小值是解题的关键． 例2．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（????） A．3 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由D关于直线AC的对称点B，连接BE，则线段BE的长即是PD+PE的最小值． 【详解】如图：连接BE，∵菱形ABCD，∴B、D关于直线AC对称， ， ∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小 ∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．， ∵菱形ABCD，，点，∴，， ∴∴△CDB是等边三角形∴ ∵点是的中点，∴,且BE⊥CD， ∴故选：A． 【点睛】本题考查菱形性质及动点问题，解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线段长． 例3．（2023·湖北鄂州·二模）如图，矩形中，，点在上，且，点分别为边上的动点，将沿直线翻折得到，连接，则的最小值为（????） ?? A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】作关于的对称点，连接，根据条件求出的长度，当、、、四点共线时，最小，即可求出答案． 【详解】解：作关于的对称点，连接， ?? ，， 沿直线翻折得到，， ， ，， ， 四边形为矩形，， 在中， ，当、、、四点共线时，最小， 最小为，的最小值为．故选：D． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解答的关键是作出辅助线． 例4．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，正方形的边长为3，E为边上的动点，连接，将绕点E顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值是______． ?? 【答案】 【分析】作交的延长线于点H，连接CF并延长，连接，首先证明出，进而得到，，然后得到是等腰直角三角形，得到点F在的角平分线上运动，作点D关于的对称点G，然后得到当点A，F，G三点在一条直线上时，有最小值，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，作交的延长线于点H，连接CF并延长，连接， ?? ∵将绕点E顺时针旋转得到线段，∴，， ∵正方形的边长为3，∴， ∴，∴， 又∵，∴，∴，， ∵，∴，∴，∴， 又∵，∴是等腰直角三角形，∴， ∴，∴点F在的角平分线上运动， ∵，，∴是等腰直角三角形， ∴，∴， 作点D关于的对称点G，∵点F在的角平分线上运动， ∴点G在的延长线上，∴，∴， ∴当点A，F，G三点在一条直线上时，有最小值， ∵点D和点G关于对称，∴，∴， ∴在中，．∴的最小值是． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称求最短路径．能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键． 变式1．（2023·湖南湘西·统考三模）如图所示，正方形的边长为2，点为边的中点，点在对角线上移动，则周长的最小值是（??） ?? A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作点E关于的对称点为，连接交于点P，可得，，根据勾股定理求出，可得周长，即可求解． 【详解】解：作点E关于的对称点为，连接交于点P，如