人教版初中数学八上 微专题11 构造全等三角形的方法一——角平分线与垂线.pptVIP

微专题11　构造全等三角形的方法一——角平分线与垂线 类型一　利用角平分线构造全等三角形 方法点拨：因为角平分线本身已经具备全等三角形的三个条件中的两个（角相等和公共边相等），故在处理角平分线问题时，常作以下辅助线构造全等三角形：（1）在角的两边截取两条相等的线段；（2）过角平分线上的一点作角两边的垂线段． 1．如图，P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M，N两点，求证：PM＝PN． 证明：过点P分别作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F， ∴∠PEM＝∠PEO＝∠PFO＝90°， ∴∠EPF＋∠AOB＝180°． ∵∠MPN＋∠AOB＝180°， ∴∠EPF＝∠MPN， ∴∠EPM＝∠FPN． ∵OP平分∠AOB， ∴PE＝PF， ∴△PEM≌△PFN（ASA）， ∴PM＝PN． OM＋ON的长是否发生变化？请说明理由． 解：OM＋ON的长不变．理由如下： 由母题知△PEM≌△PFN，∴ME＝NF． 易证△EPO≌△FPO，∴OE＝OF， ∴OM＋ON＝OE＋EM＋ON＝OE＋NF＋ON＝OE＋OF＝2OE，∴OM＋ON的长不变． 类型二　利用垂线构造全等三角形 方法点拨：如图，若AB＝AC，AB⊥AC，则可分别过斜边的两端点B，C向过点A的直线作垂线构造△ABD≌△CAE．在平面直角坐标系中，过顶点A的直线常为x轴或y轴． 2．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将△ABC放在平面直角坐标系中． （1）如图1，若点A，B的坐标分别为A（1，0），B（0，3），求点C的坐标； （2）如图2，若点A，B的坐标分别为A（1，3），B（－1，0），求点C的坐标． 图1　　　　　　图2 解：（1）过点C作CD⊥x轴，垂足为D， ∴∠CDA＝90°＝∠AOB，∴∠CAD＋∠ACD＝90°． ∵∠BAC＝90°，∴∠BAO＋∠CAD＝90°， ∴∠BAO＝∠ACD． ∵AB＝CA，∴△ABO≌△CAD（AAS）， ∴BO＝AD，OA＝DC． ∵点A，B的坐标分别为A（1，0），B（0，3）， ∴OA＝1，OB＝3， ∴AD＝3，CD＝1，∴OD＝OA＋AD＝4， ∴点C的坐标为（4，1）． （2）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，过点C作CE⊥AD，垂足为E． 同（1）可证△ACE≌△BAD， ∴AE＝BD，CE＝AD． ∵点A，B的坐标分别为A（1，3），B（－1，0）， ∴BD＝2，AD＝3， ∴CE＝3，AE＝2，∴DE＝AD－AE＝1， ∴点C的坐标为（4，1）． * *