人教版初中数学八上 小专题（九） 角平分线的处理技巧.pptVIP

小专题（九）　角平分线的处理技巧 技巧一　作距离法1.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B＋∠ADC＝180°.（1）求证：BC＝CD；证明：（1）过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F，∴∠F＝90°.∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，∴CE＝CF，∠CEB＝90°＝∠F.∵∠B＋∠ADC＝180°，∠CDF＋∠ADC＝180°，∴∠B＝∠CDF，∴△BCE≌△DCF，∴BC＝CD. （2）求证：AE－AD＝BE；证明：（2）由（1）知CE＝CF.∵AC＝AC，∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），∴AE＝AF.由（1）知△BCE≌△DCF，∴BE＝DF，∴AE－AD＝AF－AD＝DF＝BE.（3）求证：AB＋AD＝2AE.证明：（3）由（2）知AE＝AF，BE＝DF，∴AB＋AD＝AE＋BE＋AD＝AE＋DF＋AD＝AE＋AF＝2AE. 技巧二　补全图形法2.如图，在△ABC中，AB＜BC，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连接PC.若△ABC的面积为4，求△BPC的面积.解：延长AP，交BC于点D.∵BP平分∠ABC，AP⊥BP，∴∠ABP＝∠DBP，∠APB＝∠DPB＝90°.∵BP＝BP，∴△ABP≌△DBP（ASA），∴AP＝DP，∴S△ABP＝S△DBP，S△APC＝S△CDP，? 技巧三　截长补短法3.在△ABC中，∠ACB＝2∠B.（1）如图1，当∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线时，求证：AB＝AC＋CD；图1（1）证明：过点D作DE⊥AB于点E.∵AD为∠BAC的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC.在Rt△ACD和Rt△AED中，∵AD＝AD，DC＝DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，∠ACB＝∠AED.∵∠ACB＝2∠B，∴∠AED＝2∠B.∵∠AED＝∠B＋∠EDB，∴∠B＝∠EDB.过点E作EM⊥BD于点M，则可知△EBM≌△EDB，∴BE＝DE，∴BE＝DE＝CD，∴AB＝BE＋AE＝CD＋AC. （2）如图2，当∠C≠90°，AD为∠BAC的平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明；图2? （3）如图3，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明.图3?