韦达定理及其应用同步练习题.docx

PAGE PAGE 1 韦达定理及其应用同步练习题 一、知识要点 1、若一元二次方程ax 2 c bx ? c ? 0?a ? 0?中，两根为 x ， x 1 2 ? ?  。则 x ? x 1 2 ? ? b ， a x ? x 1 2 ? ，；补充公式 x a 1 x ? a2 a 2、以 x ， x 1 2 为两根的方程为 x 2 ?x 1 ? x ?x ? x ? x ? 0 2 1 2 3、用韦达定理分解因式 ax 2 bx ? c ? ? a? x 2 b x ? c ? ? a?x ? x ??x ? x ? ?? a a ? 1 2 ? 二、例题 21、 不解方程说出下列方程的两根和与两根差： 2 （1） x 2 ?3x ? 10 ? 0 （2） 3x 2 ? 5x ? 1 ? 0 （3） 2x 2 ? 4 3x ? 2 ? 0 2、 已知关于 x 的方程 x 2  ? (5k ? 1)x ? k 2  2 ? 0 ，是否存在负数k ，使方程的两个实 数根的倒数和等于 4？若存在，求出满足条件的k 的值；若不存在，说明理由。 3、 已知方程 x 2 5x ? 2 ? 0 ，作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各 根的平方的倒数。 ??1 ? 1 ? ? 1 4、 解方程组? x y 12 ?? xy ? 2 5、 分解因式： （1） 3x 2 ? 5x ? 2 ? （2） 4x 2 ? 8x ? 1 ? 三、练习 1、 在关于 x 的方程4x 2 ?m ? 1?x ? ?m ? 7?? 0 中，（1）当两根互为相反数时m 的值； （2）当一根为零时m 的值；（3）当两根互为倒数时m 的值 2、 求出以一元二次方程 x 2 ?? x ? y ? 3 3、 解方程组? 3x ? 2 ? 0 的两根的和与两根的积为根的一元二次方程。 ?? xy ? 2 4、 分解因式 （1） 4x 2  ? 5x ? 6 = （2） 2x 2 ? 2xy ? y 2 ? 四、聪明题 1、 已知一元二次方程ax 2 ? 2bx ? c ? 0 的两个实数根满足 x 1  x ? 2  ， a ， b ， 2c 分别是?ABC 的?A ，?B ，?C 的对边。（1）证明方程的两个根都是正根；（2）若 a ? c ，求?B 的度数。 2 2、在?ABC 中， ?C ? 90? ，斜边 AB=10，直角边 AC，BC 的长是关于 x 的方程 x 2 ? mx ? 3m ? 6 ? 0 的两个实数根，求m 的值。 韦达定理的应用： 已知方程的一个根，求另一个根和未知系数 求与已知方程的两个根有关的代数式的值 已知方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值 已知两数的和与积，求这两个数 已知方程的两根 x1，x2 ，求作一个新的一元二次方程 x2 –(x1+x2) x+ x1x2 =0 利用求根公式在实数范围内分解因式 ax2+bx+c = a(x- x1)(x- x2) 题 1： 若关于 x 的一元二次方程 2x2+5x+k=0 的一根是另一根的 4 倍，则 k= 已知：a,b 是一元二次方程 x2+2000x+1=0 的两个根，求：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2) = 解法一：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2) = （1+2000a+a2 +6a)（1+2000b+b2 +5b) = 6a?5b=30ab 解法二：由题意知 ∵ a2 +2000a+1=0； b2 +2000b+1=0 ∴ a2 +1=- 2000a; b2 +1=- 2000b ∴ （1+2006a+a2)（1+2005b+b2) =（2006a - 2000a)（2005b - 2000b) =6a?5b=30ab ∵ab=1， a+b=-200 ∴（1+2006a+a2)（1+2005b+b2) = （ ab +2006a+a2)（ ab +2005b+b2) =a(b +2006+a) ?b( a +2005+b) =a(2006-2000) ?b(2005-2000) =30ab 解法三：由题意知 ∵ a2 +2000a+1=0； b2 +2000b+1=0 ∴ a2 +1=- 2000a; b2 +1=- 2000b ∴ （1+2006a+a2)（1+2005b+b2) =（2006a - 2000a)（2005b - 2000b) =6a?5b=30ab 题 2： 已知:等腰三角形的两条边a,b 是方程x2-（k+2）x+2 k =0 的两个实数根,另一条边 c=1， 求:k 的值。 一、直接应用韦达定理 例 2 已知 a＋a2－1＝0，b＋b