数列求通项公式及求和9种方法.docx

数列专题 1：根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型 一、S 是数列{a }的前n项的和 na =n“ n a = n “ S n (S 型一：〈 1lS一 S (n 型一： 〈 1 lS n一Sn n 一S 【方法】：a 【方法】： a 。 n n一1 n 【注意】漏检验n 的值 (如n = 1 的情况 【例 1】.（1）已知正数数列{a } 的前n 项的和为Sn ， n 且对任意的正整数n 满足2 Sn = an +1，求数列{an } 的 通项公式。 （2）数列{a }中， a = 1 1 对所有的正整数 n 都有 n a . a . a . . a = n2 1 2 3 n n,求数列{a } 的通项公式 n 【作业一】 1－1.数列{a }满足a1 n + 3a + 32 a 2 3 + + 3n一1 a n n = 3 (n EN* ) ， n求数列 {a }的通项公式. n （二）.累加、累乘 型如a n 一a n一1 a= f (n) , n a a = f (n) 型一： a 一 a = f (n) n n一1 n一1 ,用累加法求通项公式（推 ' . 导等差数列通项公式的方法） 况 【方法】 a 一 a = f (n) ， n n一1 a 一 a = f (n 一 1) ， n一1 n一1 n一2 a 一 a = f (2) n 之 2， 2 1 a a 一 a = f (n) + f (n 一 1) + + f ( 2) n 1 ,检验n = 1 的情 型二： an = f (n)，用累乘法求通项公式（推导等比 a 数列通项公n一式1 的方法） 【方法】 n之2， a n . a a n一1 . a . a2 = f (n) . f (n 一 1) . . f (2) a 况 n一1 n一2 1 的情即 an = f (n) . f (n 一 1) . . f (2)，检验 n = 1 a 的情 1 【小结】 一般情况下， “累加法 ”（“累乘法”）里只有 n 一 1 个等式相加（相乘） . 1 【例 2】. (1) 已知a1 = -2 ，an = an一1 + (n 之 2) ，求 a n . （2）已知数列 {an }满足an+1 = a 求 n . n a n + 2 n 2 ,且a1 = 3 ， ' . （ （c,p为非零常数, c 子1, p 子1） 构 造 a + x = c(a + x) ， 即 n+1 n 【例 3】.（2009 广东高考文数） 在数列{an } 中， 1a = 1, a = (1+ )a 1 1 n+1 n n 的通项公式 a + .设 bn = ，求数列{bn } （三） （三） .待定系数法 a = ca + p n+1 n 【 方 法 】 an+1 = can + (c 一 1)x ，故(c 一 1)x = p ， 即{an + }为 等比数列 【例 4】. a1 = 1 ，an+1 = 2an + 3 ，求数列{an } 的通 项公式。 (四).倒数法 ' . kana ka n n+1 ca + p n (k , p, c为非零常数) p 1= .k a【方法】两边取倒数 p 1 = . k a c + , k 转化为 n待定系数法求解n+1 n 待定系数法求解 【 例 5 】 . 已 知 数 列{an } 的 a n+1 = 3a n 2a +1 ， n n = 1,2, ，求 {a n 首 项 为 a1 = ， } 的通项公式 数列专题 2：数列求和 题组一 分组转化求和 1.数列 a1＋2，…，ak＋2k，…，a10＋20 共有十项， 且其和为 240，则 a1＋…＋ak＋…＋a10 之值