新人教版高中数学选择性必修第一册1.4.5用空间向量研究夹角问题ppt课件.pptxVIP

1.4.5　用空间向量研究夹角问题;01;知识点一　两条异面直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为u，v，则cos θ＝__________________＝____________． ;(1)两条异面直线所成角θ的范围是{θ|0°<θ≤90°}． (2)当两个方向向量的夹角为钝角时，其补角就是两条异面直线所成的角，所以求异面直线所成角的余弦值时要加绝对值． ;√;(2)坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单． ;知识点二　直线与平面所成的角 设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝______________＝___________． ;向量法求线面角的基本步骤 ;令x＝2，得y＝1，z＝－2， 所以a＝(2，1，－2)为平面CMN的一个法向量． ;知识点三　平面与平面的夹角 (1)两平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中__________________的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)两平面夹角的计算：若平面α，β的法向量分别是n1，n2，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝_________． ;令x＝1，解得y＝1，z＝1， 于是n1＝(1，1，1). 同理可求得平面BMN的一个法向量n2＝(1，－1，－1)， ;向量法求两平面的夹角(或其某个 三角函数值)的步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系，写出相应点的坐标； (2)求出两个平面的法向量n1，n2； (3)设两平面的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|. [注意]　若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角，再用法向量求解．;正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD.若PA＝AB，求平面PAB与平面PCD的夹角的大小． ;02;√;解析：二面角有四个，其中不大于90°的二面角为平面与平面的夹角，故A错误； ;√;2;3．已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC与平面Oxy的夹角的余弦值为________． ;2;4．在正方体ABCD--A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角． ;2;03;[A　基础达标] 1．直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2所成的角为θ，直线l1，l2所成的角为α，则(　　) A．α＝θ B．α＝π－θ C．cos θ＝|cos α| D．cos α＝|cos θ| ;2．平面α的斜线l与它在这个平面上射影l′的方向向量分别为a＝(1，0，1)，b＝(0，1，1)，则斜线l与平面α所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° ;√;2;4.(2022·衢州高二期中)如图，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，则PA与BD所成角的度数为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° ;解析： 如图，以D为原心，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， ;2;√;2;√;2;2;2;8．在正四棱柱ABCD--A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________． ;2;9．在空间中，已知平面α过A(3，0，0)和B(0，4，0)及z轴上一点P(0，0，a)(a>0)，如果平面α与平面Oxy的夹角为45°，则a＝________． ;2;2;(2)求BE1与DF1所成角的余弦值． ;2;√;2;2;2;√;2;2;2;2;14．已知在长方体ABCD--A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝2，AA1＝3，M，N分别是棱BB1，BC上的点，且BM＝2，BN＝1，建立如图所示的空间直角坐标系．求： ? (1)异面直线DM与AN所成角的余弦值； ;解：由题意知D(2，0，0)，A(0，0，0)，B(0，4，0)，A1(0，0，3)，M(0，4，2)，N(1，4，0). ;(2)直线DM与平面AMN所成角的正弦值． ;取x＝4，y＝－1，z＝2， 故平面AMN的一个法向量n＝(4，－1，2). ;2;√;2;2;2;解：因为AP⊥BE，AB⊥BE， AB∩AP＝A，AB，AP?平面ABP， 所以BE⊥平面ABP. 又BP?平面ABP，所以BE⊥BP. 又∠EBC＝120°，因此∠CBP＝30°. ;(2)当AB＝3，AD＝2时，求平面AGE与平面ACG的夹角的大小． ;2;21.4.5　用空间向量研究夹角问题;01;知识点一　两条异面直线所成的角 设两