第一讲 什么是数学建模.ppt

第一讲 什么是数学建模 第一页，共三十六页，2022年，8月28日 例1 高跟鞋问题 女孩子都爱美，你知道你穿鞋跟多高的鞋子看起来最美吗？ 第二页，共三十六页，2022年，8月28日 穿高跟鞋是为了身高在视觉上得到增加，但是身高越高看起来越美吗？ 理解问题 第三页，共三十六页，2022年，8月28日 由黄金分割原理，我们不妨假定，当人的下肢和身高的比为0.618时，看起来最美。 合理化假设 设某人身高为h厘米，下肢长l厘米，高跟鞋的鞋跟为x厘米。 第四页，共三十六页，2022年，8月28日 转化为数学问题 穿上高跟鞋后，身高为h+x厘米，下肢长l+x厘米。 得到一个关于x的一次方程： 第五页，共三十六页，2022年，8月28日 问题的求解 解该一次方程，得： 第六页，共三十六页，2022年，8月28日 问题的检验 以身高168CM，下肢长为102CM的人为例，其所穿鞋的鞋跟高度与好看程度的关系可由下表说明： 原比(l/h) 身高(cm) 鞋跟高度(cm) 新比值 ０．６０７１ ０．６０７１ ０．６０７１ ０．６０７１ １６８ １６８ １６８ １６８ ２．５ ３．５５ ４．５ ４．７７４８ ０．６１２９ ０．６１５１ ０．６１７３ ０．６１８ 第七页，共三十六页，2022年，8月28日 问题的检验 又如，按照上述模型，身高153CM，下肢长为92CM的女士，应穿鞋跟高为6.6CM的高跟鞋显得比较美。 第八页，共三十六页，2022年，8月28日 评价和应用 由此看来，女孩们爱穿高跟鞋是有科学依据的，也使人联想到为什么人们观看芭蕾舞的时候有一种美的感受，可当你看踩高翘表演时就没有这种感觉。 这下女生知道应该如何选择合适的高跟鞋了吧！ 第九页，共三十六页，2022年，8月28日 例2 乌鸦能喝到水吗？ 小学课文：一只乌鸦口渴了，到处找水喝。乌鸦看见一个瓶子，瓶子里有水。可是瓶子里水不多，瓶口又小，乌鸦喝不着水，怎么办呢？ 乌鸦看见旁边有许多小石子，想出办法来了。乌鸦把小石子一个一个地放进瓶子里。瓶子里的水渐渐升高，乌鸦就喝着水了。 可是，乌鸦真的能喝到水吗？ 第十页，共三十六页，2022年，8月28日 第十一页，共三十六页，2022年，8月28日 显然水的体积大于空隙的体积，乌鸦才能喝到水。因此我们可以从几何体积计算的角度，重新认识乌鸦喝水问题。 理解问题 不难想象，当乌鸦把各种各样的小石子扔到瓶子里时，石子之间是不可能没有空隙的。如果石子之间的空隙较大，而瓶子里的水又较少，那么乌鸦即使将瓶子填满也无法喝到水。那么瓶子里到底应当有多少水，乌鸦才能喝到水呢？ 第十二页，共三十六页，2022年，8月28日 显然该问题与瓶子和石子的形状及其排列方式有关，为简单起见我们假设： 合理化假设 图1 瓶子是正方体的且不考虑瓶口的体积。 乌鸦投进的石子是大小相同的球体。 瓶子中摆放的方法如图1所示 第十三页，共三十六页，2022年，8月28日 瓶子的边长是石子直径的整数倍，不妨设为n倍（显然，如果不是整数倍的话，那石子间的空隙会更大，不利于乌鸦喝到水） 石头内部渗进的水忽略不计。 合理化假设 第十四页，共三十六页，2022年，8月28日 转化为数学问题 一个边长为n*a的正方体中放入n3个边长为a的球，求其空隙部分的体积占总体积的比例。 第十五页，共三十六页，2022年，8月28日 问题的求解 下面我们首先证明球体的大小与球体占据正方体空间的总和无关，为此我们设瓶中仅放入一个最大的球体（假如能放入的话）如图2所示。 图2 第十六页，共三十六页，2022年，8月28日 由于图1中有n3个小正方体，而每个小正方体与图2的情况相同，每个小球都内切于一个小正方体。 设大立方体的体积为V，其内切球体积为V球，小立方体的体积为Vi，小球的体积为Vi球，显然： 由等比定理得： 第十七页，共三十六页，2022年，8月28日 由此可知球的大小与所占空间总和无关，于是容易计算出球体所占空间体积与瓶子体积比为 即空隙部分的体积与瓶子体积比约为48%。这表明，按上述条件，当瓶中的水不足瓶子容积的48%时，乌鸦将难以喝到水 。 第十八页，共三十六页，2022年，8月28日 评价和应用 假如乌鸦聪明得很，能使石子彼此之间挨得更紧密些，那么空隙部分也得占瓶子1/3左右（只是计算麻烦些，读者可举一实例验证之） 上述计算尽管只是对特殊情况的一种粗略计算，但这也实在难为乌鸦了，不过这不能不使我们考虑这样一个事实，在日常生活中，应当怎样地充分利用空间，减少浪费，获得更高的效益，这正是数学所需要解决的问题。 第十九页，共三十六页，2022年，8月28日 第二十页，共三十六页，2022年，8月28日 例3 航行问题 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程： 答：