三角形全等模型专项训练（28题）-重要笔记七年级数学下学期重要考点练习(北师大版)（原卷版）.docx

三角形全等模型专项训练（28题） 模型汇总： 一．一线三等角模型 1．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝7cm，BE＝3cm，则DE的长是（　　） A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长． 3．【问题提出】 （1）已知：如图1，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，点C在线段DE上，AC＝BC且AC⊥BC，求证：△ADC≌△CEB． 【问题解决】 （2）如图2，点D，C，E在直线l上．点A，B在l的同侧，AC⊥BC，若AD＝AC＝BC＝BE＝5cm，CD＝6cm，求CE的长． 4．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，垂足分别为E，F． （1）如图所示，当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE+BF． （2）当直线l绕点C旋转到图（b）的位置时，猜想EF、AE、BF之间的关系，并证明． （3）当直线l绕点C旋转到图（c）的位置时，猜想EF、AE、BF之间的关系，直接写出结论． 5．如图，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，试回答下列问题： （1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当AB∥MN时，∠2＝　45　度； （2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作AM⊥MN于M，BN⊥MN与N，若AM＝6，BN＝2，求MN． （3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由． 二、手拉手模型 6．如图，△ABC是等边三角形，D为边BC的中点，BE⊥AB交AD的延长线于点E，点F在AE上，且AF＝BE，连接CF、CE． 求证：（1）∠CAF＝∠CBE； （2）△CEF是等边三角形． 7．如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，直线CD与直线BE交于点F． （1）求证：CD＝BE； （2）求∠CFB的度数． 8．如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，且B，C，D三点在一条直线上，连接AD，BE相交于点P． （1）求证：BE＝AD． （2）求∠APB的度数． 9．已知：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE． （1）求证：AD＝BE； （2）求∠AEB的度数； （3）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE． ①请你直接写出∠AEB的度数为多少度？ ②探索线段CM、AE、BE之间存在怎样的数量关系，并说明理由． 10．以△ABC的AB，AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝α．CD与BE相交于O，连结AO，如图①所示． （1）求证：BE＝CD； （2）判断∠AOD与∠AOE的大小，并说明理由． （3）在EB上取点F，使EF＝OC，如图②，请直接写出∠AFO与α的数量关系． 三、倍长中线模型 11．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE． 求证：AB＝CD． 12．如图，AD是△ABC的中线，F为AD上一点，E为AD延长线上一点，且DF＝DE． 求证：BE∥CF． 13．（1）如图1，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，AD平分∠BAC．求证：AD＝AC； （2）如图2，在△ABC中，点E在BC边上，中线BD与AE相交于点P，AP＝BC．求证：PE＝BE． 14．如图，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF 求证：BE+CF＞EF． 15．阅读下面材料： 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，再连接BE，相当于把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，即可得到AD的取值范围．请你写出AD的取值范围　1＜AD＜4　； 小明小组的感悟：解题时，可以通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 请你解决以下问题： （1）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，ED⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF． ①求证：BE+CF＞EF； ②若∠A＝90°，请直接写出线段BE、CF、EF之间的数量关系为　BE2+CF2＝EF2　． （2）如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝1