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专题05 导数大题综合
一、解答题
1.(2023·上海奉贤·统考二模)设函数的定义域是R,它的导数是.若存在常数,使得对一切恒成立,那么称函数具有性质.
(1)求证:函数不具有性质;
(2)判别函数是否具有性质.若具有求出的取值集合;若不具有请说明理由.
2.(2023·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测)已知函数.
(1)求证:;
(2)若,试比较与的大小;
(3)若,问是否恒成立?若恒成立,求的取值范围; 若不恒成立,请说明理由.
3.(2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模)已知函数.
(1),求实数的值;
(2)若,且不等式对任意恒成立,求的取值范围;
(3)设,试利用结论,证明:若,其中,则.
4.(2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模)设是定义在区间上的函数,其导函数为.如果存在实数和函数,其中对任意的都有,使得,则称函数具有性质.
(1)设函数,其中为实数.
(ⅰ)判断函数是否具有性质,请说明理由;
(ⅱ)求函数的单调区间.
(2)已知函数具有性质.给定,,设为实数,,,且,,若,求的取值范围.
5.(2023·上海宝山·上海交大附中校考三模)记分别为函数的导函数.若存在 ,满足且,则称为函数与的一个“兰亭点”.
(1)证明:函数与不存在“兰亭点”;
(2)若函数与存在“兰亭点”,求实数的值;
(3)已知函数.对存在实数,使函数与在区间内存在“兰亭点”,求实数的取值范围.
6.(2023·上海长宁·统考二模)(1)求简谐振动的振幅、周期和初相位;
(2)若函数在区间上有唯一的极大值点,求实数m的取值范围;
(3)设,,若函数在区间上是严格增函数,求实数a的取值范围.
7.(2023·上海浦东新·统考三模)已知实数,,.
(1)求;
(2)若对一切成立,求的最小值;
(3)证明:当正整数时,.
8.(2023·上海虹口·上海市复兴高级中学校考模拟预测)已知.
(1)求函数的极小值;
(2)当时,求证:;
(3)设),记函数在区间上的最大值为,当最小时,求a的值.
9.(2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测)设是定义在上的奇函数.若是严格减函数,则称为“函数”.
(1)分别判断和是否为函数,并说明理由;
(2)若是函数,求正数的取值范围;
(3)已知奇函数及其导函数定义域均为.判断“在上严格减”是“为函数”的什么条件,并说明理由.
10.(2023·上海徐汇·南洋中学校考三模)设函数,其中a为常数.对于给定的一组有序实数,若对任意、,都有,则称为的“和谐数组”.
(1)若,判断数组是否为的“和谐数组”,并说明理由;
(2)若,求函数的极值点;
(3)证明:若为的“和谐数组”,则对任意,都有.
11.(2023·上海·华师大二附中校考模拟预测)已知.记,其中常数m,.
(1)证明:对任意m,,曲线过定点;
(2)证明:对任意s,,;
(3)若对一切和一切使得的函数,恒成立,求实数的取值范围.
12.(2023·上海徐汇·统考三模)若函数满足,称为的不动点.
(1)求函数的不动点;
(2)设.求证:恰有一个不动点;
(3)证明:函数有唯一不动点的充分非必要条件是函数有唯一不动点.
13.(2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测)已知,,.
(1)若,,写出曲线的一条水平切线的方程;
(2)若,使得,,,形成等差数列,证明:;
(3)若存在,使得函数有唯一零点,求的取值范围.
14.(2023·上海奉贤·上海市奉贤中学校考三模)定义:若曲线C1和曲线C2有公共点P,且在P处的切线相同,则称C1与C2在点P处相切.
(1)设.若曲线与曲线在点P处相切,求m的值;
(2)设,若圆M:与曲线在点Q(Q在第一象限)处相切,求b的最小值;
(3)若函数是定义在R上的连续可导函数,导函数为,且满足和都恒成立.是否存在点P,使得曲线和曲线y=1在点P处相切?证明你的结论.
15.(2023·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测)已知函数.
(1)若是定义域上的严格增函数,求a的取值范围;
(2)若,,求实数a的取值范围;
(3)设、是函数的两个极值点,证明:.
16.(2023·上海嘉定·校考三模)已知函数,其导函数为,
(1)若函数有三个零点,且,试比较与的大小.
(2)若,试判断在区间上是否存在极值点,并说明理由.
(3)在(1)的条件下,对任意的,总存在使得成立,求实数的最大值.
17.(2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模)已知.
(1)当时,求函数的单调减区间;
(2)当时,曲线在相异的两点点处的切线分别为和和的交点位于直线上,证明:两点的横坐标之和小于4;
(3)当时,如果对于任意,总存在以为三边长的三角形,求的取值范围.
18.(2023·上海闵行·统考二模)如果曲线存在相互垂直的两条切线,称
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