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专题06 数列大题综合
一、解答题
1.(2023·上海奉贤·统考二模)已知等差数列的公差不为零,,且,,成等比数列.
(1)求的通项公式;
(2)计算.
2.(2023·上海黄浦·统考一模)已知是等差数列,是等比数列,且,,,.
(1)求的通项公式;
(2)设,求数列的前2n项和.
3.(2023·上海崇明·上海市崇明中学校考模拟预测)已知等差数列的前项和记为,等比数列的前项和为,设,,.
(1)求数列的通项;
(2)设求的最大值及此时的值.
4.(2023·上海浦东新·统考二模)已知数列是首项为9,公比为的等比数列.
(1)求的值;
(2)设数列的前项和为,求的最大值,并指出取最大值时的取值.
5.(2023·上海普陀·统考二模)已知均为不是1的正实数,设函数的表达式为.
(1)设且,求x的取值范围;
(2)设,,记,,现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为,求的值.
6.(2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测)已知数列的前n项和为,,对任意的正整数,点均在函数图像上.
(1)证明:数列是等比数列;
(2)证明:中任何不同三项不构成等差数列.
7.(2023·上海普陀·统考一模)设a、b均为正整数,为首项为a、公差为b的等差数列,为首项为b、公比为a的等比数列.
(1)设t为正整数,当,,时,求的值;
(2)若,且对于某项,存在,使得,试提出一个关于m、k的结论,并说明理由.
8.(2023·上海嘉定·校考三模)已知数列的前项和为,对任意的正整数,点均在函数图象上.
(1)证明:数列是等比数列;
(2)问中是否存在不同的三项能构成等差数列?说明理由.
9.(2023·上海徐汇·统考一模)对于数列,,其中,对任意正整数都有,则称数列为数列的“接近数列”.已知为数列的“接近数列”,且,.
(1)若(是正整数),求,,,的值;
(2)若(是正整数),是否存在(是正整数),使得,如果存在,请求出的最小值,如果不存在,请说明理由;
(3)若为无穷等差数列,公差为,求证:数列为等差数列的充要条件是.
10.(2023·上海·高三专题练习)数列满足()
(1)求的值;
(2)求与之间的关系式;
(3)求证:()
11.(2023·上海·高三专题练习)已知数列的前项和为,且.
(1)求证:数列是等比数列;
(2)求数列的前项和.
12.(2023·上海静安·统考一模)已知数列满足:,,,对一切正整数成立.
(1)证明:数列{}是等比数列;
(2)求数列的前项之和.
13.(2023·上海虹口·统考一模)在等差数列中,,且,,构成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,记为数列的前项和,若,求正整数的最小值.
14.(2023·上海静安·统考二模)已知各项均为正数的数列{}满足(正整数
(1)求证:数列是等比数列;
(2)求数列{}的前n项和.
15.(2023春·上海宝山·高三统考阶段练习)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,以他的名字定义的函数称为高斯函数,其中表示不超过x的最大整数.已知数列满足,,,若,为数列的前n项和.
(1)证明:数列是等比数列,并求数列的通项公式;
(2)求的值.
16.(2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习)已知点是函数图像上不同的点,设首项(常数,记.
(1)若数列是一个5项的等比数列,其中,当时,试写出数列的前6项;
(2)若数列是一个无穷等差数列,满足,当时,求数列的前项和;
(3)若对于任意,都有,当数列各项均不为1时,记,若存在常数,使得对于任意,不等式都成立,求非负实数的取值范围.
17.(2023·上海·高三专题练习)对于数列,若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和,则称为数列.
(1)若数列1,2,,8是数列,求实数的取值范围;
(2)设数列,,,,是首项为、公差为的等差数列,若该数列是数列,求的取值范围;
(3)设无穷数列是首项为、公比为的等比数列,有穷数列、是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列,其所有项和分别记为、,求证:当且时,数列不是数列.
18.(2023·上海·高三专题练习)数列满足:,且对任意,都有.
(1)求;
(2)设,求证:对任意,都有;
(3)求数列的通项公式.
19.(2023·上海·高三专题练习)已知数列,满足:存在,对于任意的,使得,则称数列与成“k级关联”.记与的前n项和分别为,.
(1)已知,判断与是否成“4级关联”,并说明理由;
(2)若数列与成“2级关联”,其中,且有,,求的值;
(3)若数列与成“k级关联”且有,求证:为递增数列当且仅当.
20.(2023·上海崇明·统考一模)已知数列满足.
(1)若数列的前4项分别为4,2,,1,求的取值范围;
(2)已知数列中各
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