1_7.3　数列的综合问题.docx

7.3　数列的综合问题 五年高考 考点1　求通项公式 1.(2022新高考Ⅰ,17,10分,中)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=1,Sn (1)求{an}的通项公式; (2)证明:1a1+1a 解析　(1)依题意得,S1=a1=1, Snan=11+(n?1)× 则3Sn+1=(n+1+2)an+1=(n+3)an+1, ∴3Sn+1-3Sn=(n+3)an+1-(n+2)an, 即3an+1=(n+3)an+1-(n+2)an, ∴nan+1=(n+2)an,即an 由累乘法得an 又a1=1,∴an+1=(n ∴an=n(n+1)2 ∴an=n(n+1)2 (2)证明:由(1)知1a ∴1a1+1a 2.(2019课标Ⅱ,19,12分,中)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4. (1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列; (2)求{an}和{bn}的通项公式. 解析　(1)证明:4an+1=3an-bn+4①, 4bn+1=3bn-an-4②, ①+②得4an+1+4bn+1=3an+3bn-an-bn, 整理得an+1+bn+1=12(an+bn),又a1+b1 故{an+bn}是首项为1,公比为12 ①-②可得4an+1-4bn+1=3an-3bn+an-bn+8, 整理得an+1-bn+1=an-bn+2,即(an+1-bn+1)-(an-bn)=2, 又a1-b1=1, 故{an-bn}是首项为1,公差为2的等差数列. (2)由(1)知,an+bn=12n-1,a 所以an=12 bn=12 考点2　数列的求和 1.(2012大纲全国,5,5分,易)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列1a A.100 答案　A　 2.(2021浙江,10,4分,难)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an1+an(n∈N*).记数列{a A.32<S100<3　　　　　B.3<S100 C.4<S100<92　　　　　D.9 答案　A　 3.新定义(2020课标Ⅱ理,12,5分,难)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2…an…满足ai∈{0,1}(i=1,2,…),且存在正整数m,使得ai+m=ai(i=1,2,…)成立,则称其为0-1周期序列,并称满足ai+m=ai(i=1,2,…)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列a1a2…an…,C(k)=1m∑i=1m aia A.11010…　　　　　B.11011… C.10001…　　　　　D.11001… 答案　C　 4.(多选)(2021新高考Ⅱ,12,5分,难)设正整数n=a0·20+a1·21+…+ak-1·2k-1+ak·2k,其中ai∈{0,1},记ω(n)=a0+a1+…+ak,则(　　) A.ω(2n)=ω(n)　　　　　B.ω(2n+3)=ω(n)+1 C.ω(8n+5)=ω(4n+3)　　　　　D.ω(2n-1)=n 答案　ACD　 5.(2020江苏,11,5分,易)设{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q的等比数列.已知数列{an+bn}的前n项和Sn=n2-n+2n-1(n∈N*),则d+q的值是　　　　.? 答案　4 6.(2019上海,8,5分,易)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+an=2,则S5=　　　　.? 答案　31 7.传统文化(2021新高考Ⅰ,16,5分,难)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 dm×12 dm的长方形纸,对折1次共可以得到10 dm×12 dm,20 dm×6 dm两种规格的图形,它们的面积之和S1=240 dm2,对折2次共可以得到5 dm×12 dm,10 dm×6 dm,20 dm×3 dm三种规格的图形,它们的面积之和S2=180 dm2,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为　　　　;如果对折n次,那么∑k=1nSk=　　　　 答案　5;240×3 8.(2021新高考Ⅰ,17,10分,中)已知数列{an}满足a1=1,an+1=a (1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式; (2)求{an}的前20项和. 解析　(1)由题设可得a2k+2=a2k+1+1,a2k+1=a2k+2(k∈N*),故a2k+2=a2k+3,即bn+1=bn+3, 即bn+1-bn=3,b1=a2=a1+1=2, 所以{bn}是首项为2,公差为3的等差数列, 故bn=2+(n-1)×3=3n-1. (2)当n为奇数时,an=an+1-1. 设数列{an}的前