1_4.2　利用导数研究函数的单调性、极值和最值.docx

4.2　利用导数研究函数的单调性、极值和最值 五年高考 考点1　利用导数研究函数的单调性 1.(2014陕西,10,5分,易)如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为(　　) A.y=1125 C.y=3125 答案　A　 2.(2023新课标Ⅱ,6,5分,中)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)单调递增,则a的最小值为(　　) A.e2　　　B.e　　　C.e-1　　　D.e-2 答案　C　 3.(2023全国乙理,16,5分,难)设a∈(0,1),若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)单调递增,则a的取值范围是　　　　.? 答案　5 4.(2023新课标Ⅰ,19,12分,中)已知函数f(x)=a(ex+a)-x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)证明:当a>0时, f(x)>2ln a+32 解析　(1)由已知得函数f(x)的定义域为R, f '(x)=aex-1. ①当a≤0时, f '(x)<0, f(x)在R上单调递减; ②当a>0时,令f '(x)=0,则x=ln 1a 当x<ln 1a 当x>ln 1a 综上所述,当a≤0时, f(x)在R上单调递减; 当a>0时, f(x)在-∞,ln 1 (2)证明:由(1)知,当a>0时, f(x)在-∞,ln 1a上单调递减,在ln 1a,+ 要证明f(x)>2ln a+32,只需证明1+a2+ln a>2ln a+3 即证a2-ln a-12 令g(x)=x2-ln x-12(x>0),则g'(x)=2x-1 当0<x<22 当x>22 ∴g(x)min=g22=12-ln 22 ∴g(x)>0在(0,+∞)上恒成立,即a2-ln a-12 ∴f(x)>2ln a+32 5.(2023全国甲文,20,12分,中)已知函数f(x)=ax-sinxcos2 (1)当a=1时,讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)+sin x<0,求a的取值范围. 解析　(1)当a=1时, f(x)=x-sinxcos2 f '(x)=1-cos 所以函数f(x)在0, (2)令g(x)=sinxcos 则g'(x)=3co 因为x∈0,π2,所以3cos2xsin2x+2sin4 则g'(x)>0,所以函数g(x)在0, g(0)=0,当x→π2时,g(x)→ 因为f(x)+sin x<0恒成立,所以sinxcos 即直线y=ax在0<x<π2 由图及g'(0)=0可得a≤0,即a的取值范围为(-∞,0]. 6.(2021全国乙文,21,12分,中)已知函数f(x)=x3-x2+ax+1. (1)讨论f(x)的单调性; (2)求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标. 解析　(1)由题意知x∈R, 由f(x)=x3-x2+ax+1可得f '(x)=3x2-2x+a. 令f '(x)=0,即3x2-2x+a=0,Δ=4-12a. ①当a≥13时,Δ≤0,即f '(x)≥0在R上恒成立,此时f(x)在R ②当a<13时,Δ>0,方程3x2-2x+a=0的两个根为x1=1-1-3a3,x2=1+ 所以f(x)在-∞,1-1 (2)第一步:由题中“过原点的切线”知设切点坐标. 设过原点的切线与曲线y=f(x)相切于点P(x0,y0),则f '(x0)=3x02-2x 第二步:用点斜式表示出切线方程,将(0,0)代入求解切点坐标. 所以以点P为切点的切线方程为y=(3x02-2x0+a)(x-x0)+y0.由y0=x03?x02+ax0+1,且切线过原点,得2x0 第三步:将切点坐标代入切线方程,可得化简后的切线方程,再联立曲线方程与切线方程求出公共点坐标. 所以切线方程为y=(1+a)x,联立y 消去y得x3-x2-x+1=0, 即(x-1)2(x+1)=0,∴x=1或-1, ∴公共点坐标为(1,1+a)与(-1,-1-a). 7.(2021全国甲文,20,12分,中)设函数f(x)=a2x2+ax-3ln x+1,其中a>0. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若y=f(x)的图象与x轴没有公共点,求a的取值范围. 解析　(1)f(x)=a2x2+ax-3ln x+1,x∈(0,+∞), ∴f '(x)=2a2x+a-3x ∵a>0,x>0,∴2ax 当x∈0, 当x∈1a ∴函数f(x)在0,1a (2)∵y=f(x)的图象与x轴没有公共点且a2>0, ∴y=f(x)在(0,+∞)上的图象在x轴的上方, 由(1)可得函数f(x)在0,1a上单调递减,在1a,+∞上单调递增,∴f(x)min=f1a 故实数a的取值范围是1e 8.(2020课