多维随机变量及其分布.docx

第三章多维随机变量及其分布随机向量的定义： 随机试验的样本空间为S={w}，若随机变量X1(w),X2(w),…,Xn(w)定义在S上，则称(X(w),X(w),…,X(w))为n维随机12n变量(向量)。简记为(X,X,???,X)。 12n 二维随机向量(X,Y)，它可看作平面上的随机点。 对(X,Y)研究的问题: (X,Y)视为平面上的随机点。 研究其概率分布联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘(际)分布律、边缘分布函数、边缘概率密度;marginalX与Y的相互关系；(X,Y)函数的分布。 研究其概率分布 联合分布率、联 §二维随机变量的分布 一.离散型随机变量 联合分布律 1^1定义若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个，则称(X,Y)为二维离散型随机变量。 1^1 设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值色?)，i，j=1,2…,取这些值的概率为Jp=P{(X,Y)=(x,y)}=p{X=x,Y=y}iijiiii,j=1,2，… 称式为(X,Y)的联合分布律。 (X,Y)的联合分布律可以用表格的形式表示如下： X y1 y… J2 y… j X的边缘: 布率 X 1 pn P12 p1j… P1?. X 2 P21 P22 P2j… P2? M M M M M x ?i pi1 Pi2 pj… P ?i? M M M M M Y的边缘分 P ?1 p M ?2 1 布率 p.j … 性质: Pj0，i，j=1，2，…i,jpj=1边缘分布律联合分布律为设二维离散型随机变量(X,Y)的1^1p=P{X=x,Y=y}i,ijiij=1,2,…分量X和Y的分布律分别为pi=P{X=Xi}i=1,2,…满足①p30②Sp=1 设二维离散型随机变量(X,Y)的 1^1 i.i. =p{Y=y}j=1,2，…①30②i S=1我们称P和分别为(X,Y)关于X和i. Y的边缘分布律，简称为(X,Y)的边缘分布律。 二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律与边缘分布率有如下关系： p.=P{X=x.}=P{X=x.,S}=P{X=Xi,￡(Y=yj)}=ZP{X=x,Y=y}=EP'ijijjjl=J同理可得=zP.. l=J iji 例1：一整数X随机地在1,2,3三个整数中任取一值，另一个整数Y随机地在1到X中取一值。试求(X,Y)的联合分布率及边缘分布率。 解??p{x=i,Y=j}=P^y=j/X=i}p{x=i}11=Xi3i=1,2,3,j<i, - 1 2 3 X的边缘分布率 1 1/3 0 0 1/3 2 1/6 1/6 0 1/3 3 1/9 1/9 1/9 1/3 Y的边缘 11/18 5/18 1/9 1 piP2P3 分布率LP.2P :.联合分布函数与边缘分布函数 1.定义设(X,Y)是二维随机变量， 对任意的实数x,y令 F(x,y)=P{X￡x,Y￡y}则称F(x,y)为(X,Y)的联合分布函数。 2.F(x,y)的性质： 性质1对于x和y,F(x,y)都是单调不减函数，即若x<x,对任意的12实数y,则有F(xi?y)￡F(x2,y)；若y<y,对任意的实数x,则有12F(x,yi)￡F(x,y2)。 性质2对于任意的实数x,y,均有0￡F(x,y)￡1,LimF(x,y)=0,XT—3LimF(x,y)=0,y>3 LimF(x,y)=1。 x,yT+3性质3对于x和y,F(x,y)都是右连续的，即对任意的实数x和y,00均有TOC\o"1-5"\h\zLimF(x,y)=F(x,y),xf+00LimF(x,y)=F(x,y)。 l%+0性质4若x<x,y<y,则1212F(x,y)-F(x,y)2,221 -F(x,y)+F(x,y)301211(X,Y)落于下图阴影部分的矩形区域内的概率为： F(x,y)-F(x,y)-F(x,y)+F(x,y)2,2211211=P{x<X￡x,y<Y￡y}1212例2P71,照书上讲。 3.边缘分布(X,Y)的分量X,Y的分布函数分别为F(x)和F(y)，称它们为X，YXY的边缘分布函数。它们与F(x,y)的关系如下： F(x)=P{X￡x}=P{XX￡x,-g<Y<+g}=F(x,+8),Fy(y)=P{Y￡y}=P{-^<X<+“,Y￡y}=F(+^,y)。 in例2：(第一版)设(X^Y)?F(x,y)=<1—e~x2—e~2y2+ex2—2y2x20,y200其它求：(1)(X,Y)的边缘分布函数；P(1<x<2,-1<y<3)oP(X>2,Y>3)=1-P(X<2,Y<3) in =< 三.连续性随机变量1.联合概率密度定义设(X,Y)的联合分布函数为F(x