多目标决策理论及方法-1权重法.pptVIP

LOGO LOGO 权重法 刘飞飞 王文君 非劣解生成技术：直接生成问题的非劣解，是求解多目标优化问题的技术之一 特点：向量优化问题→标量优化问题→应用求解标量优化问题的现有方法→多目标问题的非劣解集 方法：权重法、约束法、多目标线性规划法、动态规划法 第3章????非劣解生成技术 3.1.1 基本原理 权重法是寻求向量优化问题的常用方法，首先由Zadeh于1963年提出。 基本思想：将向量优化问题通过赋予各个目标函数一定的权重，构成一个目标的标量优化问题；再通过改变各个目标的权重值，从而生成多目标优化问题的非劣解集。 权重法中w代表决策者偏好，只是参数，不具有实际意义。 3.1????权重法 设多目标优化问题 采用权重法可以表述成如下的权重问题P(w) （3.1） 其中权重行向量 （3.2） 3.1????权重法 当给定权重向量ω0，求解P(ω0)，可得最优解x0； 若x0是P(ω0)的唯一解，或每个ωi是严格的正值，即ω>0，可以证明x0是向量优化问题的一个非劣解； 如果再选择一些ω，继续求解P(ω)，就可求得多目标问题的若干个非劣解。 目标函数和约束集X是凸性的，可应用P(w)生成多目标问题的非劣解集。否则，不能全部生成非劣解。 摄动权重法：不断改变各目标函数的权重值ωi。 3.1????权重法 权重法的解法： （1）解析法：对某些相对简单的多目标问题，可用解析法寻求非劣解，即应用Kuhn-Tuker条件去求解； （2）数值法：对于较复杂的多目标问题，可用数值法求解。 3.1????权重法 3.1.2 解析法例题 例3.1 设向量优化问题为 （3.3） s.t. （3.4a） （3.4b） （3.4c） （3.4d） 其中 3.1????权重法 解：将原极小值问题转化为权重问题并标准化 s.t. 3.1????权重法 Kuhn-Tucker条件： 3.1????权重法 应用Kuhn-Tucker条件： 3.1????权重法 整理得到： 其中 3.1????权重法 仅可能的解是 和 若假定 则  3.1????权重法 由于每个目标函数均是凸性的，所以x可由上式来确定，且是唯一解。 其非劣解集x*为由上式所表示的凸包，即 3.1????权重法 非劣解如图3.1所示 3.1????权重法 图3.1 非劣解示意图 3.1.3 数值法例题 数值法是在各目标权重的可行域内，通过不断摄动权重值用以生成全部或有代表性的非劣解，从而供决策者选出均衡解。 当目标函数和约束集没有特殊要求（除凸性外）时，数值解法的程序，一般是先将ωi离散为从0到1的有理数，然后对ω1，ω2，…，ωp的各种组合求解P(w)问题，从而生成原问题的非劣解集。 3.1????权重法 例3.2 已知多目标优化问题为：  s.t. 3.1????权重法 解：（1）P(w)的权重问题  （2）分别优化各个目标，即在各处满足上述约束条件式下求解f1(x)和f2(x)的最大值； 并将其极值点B(x1=6，x2=0)和 E(x1=1，x2=4)及相应的目标函数值(f1=30，f2=-6)和(f1=-3，f2=-15)分别绘于本题的决策空间（图3.2）和目标空间（图3.3）上。 过B点的线性无差曲线是垂直线，斜率为(-ω1/ω2)= (-ω1/0)=－∞； 过E点的线性无差曲线是水平线，斜率为(-ω1/ω2)= (-0 /ω2)=0； 这两个单目标问题的解均是唯一的，无劣解。 3.1????权重法 （3）摄动权重值。一般将权重离散为从0到1的有理数，也可取任意的有理数。为了在目标空间确定线性无差曲线的斜率，取用权重值的相对值（即其比率ω1/ω2）才更有意义。 为简便起