散度旋度曲线积分.ppt

例：计算 其中?由平面 y = z 截球面 提示: 因在 ?上有 故 原式 = 从 z 轴正向看沿逆时针方向. 第三十一页，共三十八页，2022年，8月28日 (2) 格林公式 推论: 正向闭L 所围D 的面积 应用格林公式注意事项： 格林公式三个条件 曲线封闭性 曲线正向 偏导连续性 加边法 考虑反方向 挖洞法 当被积函数或积分曲线比较复杂时考虑用格林公式 第三十二页，共三十八页，2022年，8月28日 散度旋度曲线积分 第一页，共三十八页，2022年，8月28日 计算曲线型构件的质心 第二类曲线积分的计算 格林公式 曲线积分与路径无关的条件 解全微分方程 第一类曲面积分的计算 第二类曲面积分的计算 高斯公式 各类积分的几何、物理背景 第二页，共三十八页，2022年，8月28日 三、向量场的散度 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为 理意义可知, 设? 为场中任一有向曲面, 单位时间通过曲面? 的流量为 则由对坐标的曲面积分的物 第三页，共三十八页，2022年，8月28日 若? 为方向向外的闭曲面, 当? > 0 时, 说明流入? 的流体质量少于 当? < 0 时, 说明流入? 的流体质量多于流出的, 则单位时间通过? 的流量为 当? = 0 时, 说明流入与流出? 的流体质量相等 . 流出的, 表明? 内有源（正源）; 表明 ? 内有洞 （负源）; 注：反映了?内源的性质和强度 第四页，共三十八页，2022年，8月28日 定义: 设有向量场 divergence M(x, y, z)为场内一点 称此极限值为向量场 A 在点 M 的散度，记为 方向向外的任一闭曲面 , 记? 所围域为?, ? 是包含点 M 且 ? 的体积 为V, 如果极限 存在 第五页，共三十八页，2022年，8月28日 表明该点处有正源, 表明该点处有负源, 表明该点处无源, 散度绝对值的大小反映了源的强度. 若向量场 A 处处有 , 则称 A 为无源场. 例如, 匀速场 故它是无源场. 注: 散度是通量对体积的变化率, 且 第六页，共三十八页，2022年，8月28日 定理: 设有向量场 其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数,则 证： 第七页，共三十八页，2022年，8月28日 注： 1．高斯公式： 2．性质 第八页，共三十八页，2022年，8月28日 例. 置于原点, 电量为 q 的点电荷产生的场强为 解: 计算结果与仅原点有点电荷的事实相符. 第九页，共三十八页，2022年，8月28日 第七节 斯托克斯公式与旋度 个空间域内具有连续一阶偏导数, ? 的侧与 ? 的正向符合右手法则, 在包含? 在内的一 第十页，共三十八页，2022年，8月28日 例. ? 为柱面 与平面 y = z 的交线,从 z 轴正向看为顺时针, 计算 解: 设?为平面 z = y 上被 ? 所围椭圆域 , 且取下侧, 利用斯托克斯公式得 则其法线方向余弦 第十一页，共三十八页，2022年，8月28日 二、空间曲线积分与路径无关的条件 定理. 设 G 是空间一维单连通域, 具有连续一阶偏导数, 则下列四个条件相互等价: (1) 对G内任一分段光滑曲线 ?, 与路径无关 (2) 在G内存在某一函数 u, 使 (3) 在G内处处有 (4) 对G内任一分段光滑闭曲线 ?, 有 第十二页，共三十八页，2022年，8月28日 与路径无关, 并求函数 解: 令 ? 积分与路径无关, 因此 例. 验证曲线积分 第十三页，共三十八页，2022年，8月28日 三、 环流量与旋度 曲线 L的单位切向量为 称为向量场A 定义: 沿有向闭曲线 ?的环量. 环量密度: 第十四页，共三十八页，2022年，8月28日 rotation 向量 rot A 称为向量场 A 的 旋度 : 定理:若 则 向量场 A 产生的旋度场 穿过 ? 的通量 为向量场 A 沿 ?的环流量 斯托克斯公式的物理意义: 第十五页，共三十八页，2022年，8月28日 的外法向量, 计算 解: 例. 设 第十六页，共三十八页，2022年，8月28日 曲线积分 曲面积分 1. 第一类曲线积分 2. 第二类曲线积分 3. 第一类曲面积分 4. 第二类曲面积分 （曲面薄板质量） （物质曲线质量） （变力作功、环量） （通量） 第十章 曲线积分与曲面积分 知识总结 第十七页，共三十八页，2022年，8月28日 ? 对光滑曲线弧 ? 对光滑曲线弧 ? 对光滑曲线弧 ? 对光滑曲线弧 (1)利用参数方程化为定积分 1. 第一类曲线积分的计算 第十八页，共三十八页，2022