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中⼼极限定理的证明
中⼼极限定理是作为概率论的基础定理，然⽽很多教科书都没有给出完 证明或引证出处，严重影响到了学习的乐趣。通过在⽹上查找资
料，感谢⽹友的分享，最终根据傅⽴叶变换证明该定理，过程很简短，也不要求有太深的数学知识⾯，下⾯给出定理的完 证明，⾸先介绍
中⼼极限定理的定义
中⼼极限定理:
设随机变量x 1,x2,x3…xn相互独⽴且满⾜同⼀分布，则随机变量Yn
Yn的分布函数Fn(x)
为了证明该定理设(X,Y)是⼆维连续随机变量，且X,Y相互独⽴其分布函数分别为:
则(X,Y)的概率密度函数f (x,y)=g(x)h(y)，若随机变量Z=X+Y，则Z的分布函数Fz(u)=P{Z<=u}=P{X+Y<=u}
则Z的概率密度fz(u)为
上式有两点结论:1两个独⽴连续的随机变量的和的概率密度函数是各 ⾃概率密度函数的卷积。2由卷积定理知道，和的概率密度函数的傅⽴
叶变换等于各 ⾃概率密度函数的傅⽴叶变换的乘积。
设a,b为实数则(X+b)/a的分布函数为
其概率密度以及对应的傅⽴叶变换为
再根据中⼼极限定理的条件
以及Yn
结合前⾯所得出的结论得到Yn的概率密度及其傅⽴叶变换
针对上式扩号中的被积函数进⾏泰勒分解
当n趋于⽆穷，根据傅⽴叶逆变换求Yn的概率密度
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