线性代数第六章第一节.pptxVIP

第六章 线性空间和 线性变换第一节 线性空间的定义和性质第二节 基、坐标及其变换第三节 线性空间的子空间第四节 线性变换第五节 线性变换的矩阵表示第一页，共二十三页。第一节 线性空间的定义和性质一、线性空间的定义二、线性空间的性质三、小结 思考第二页，共二十三页。一、线性空间的定义　线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广． 线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问 题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题．第三页，共二十三页。定义１ 设 是一个非空集合， 为实数域．如果对于任意两个元素 　，总有唯一的一个元素 与之对应，称为 与 的和，记作　若对于任一数 与任一元素 ，总有唯一的一个元素 与之对应，称为 与 的数乘，记作第四页，共二十三页。如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么 就称为数域 上的向量空间（或线性空间）．第五页，共二十三页。第六页，共二十三页。说明　1． 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为线性运算．　2 ．向量空间中的向量不一定是有序数组．　3 ．判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间． 第七页，共二十三页。例１ 实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 ．线性空间的判定方法　（１）一个集合，如果定义的加法和数乘运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性以及零元素的存在性。例：实数域上的n维向量空间第八页，共二十三页。　通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律．第九页，共二十三页。第十页，共二十三页。例４ 正弦函数的集合对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间．第十一页，共二十三页。例５ 在区间 上全体实连续函数，对函数的加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性空间．是一个线性空间.一般地第十二页，共二十三页。例６ 正实数的全体，记作 ，在其中定义加法及数乘运算为验证 对上述加法与数乘运算构成线性空间．　（２）一个集合，如果定义的加法和数乘运算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律．证明所以对定义的加法与数乘运算封闭．第十三页，共二十三页。下面一一验证八条线性运算规律：第十四页，共二十三页。所以 对所定义的运算构成线性空间．第十五页，共二十三页。例７ 个有序实数组成的数组的全体对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法不构成线性空间．第十六页，共二十三页。　假设 是线性空间V中的两个零元素，有则对任何 ，由于所以二、线性空间的性质1．零元素是唯一的．证明第十七页，共二十三页。那么假设 有两个负元素 与 ，向量 的负元素记为2．负元素是唯一的．证明则有第十八页，共二十三页。证明第十九页，共二十三页。4．如果 ，则 或 .假设那么又同理可证：若 则有证明第二十页，共二十三页。　线性空间是二维、三维几何空间及 维向量空间的推广，它在理论上具有高度的概括性.是一个集合三、小结　线性空间的元素统称为“向量”，但它可以是通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等.线性空间对所定义的加法及数乘运算封闭所定义的加法及数乘符合8条运算规律第二十一页，共二十三页。思考题第二十二页，共二十三页。思考题解答第二十三页，共二十三页。