第9练　立体几何中的计算问题.docx

第9练　立体几何中的计算问题 查方法明晰思路 表面积和体积 棱柱 S全＝S侧＋2S底，V＝S底·h高 圆锥 S全＝πr2＋πrl，V＝eq \f(1,3)πr2h 棱锥 S全＝S侧＋S底，V＝eq \f(1,3)S底·h高 球 S球＝4πR2，V球＝eq \f(4,3)πR3 圆柱 S全＝2πr2＋2πrh，V＝πr2h 求多面体体积的常用技巧是割补法(割补成易求体积的多面体) ①补形：三棱锥?三棱柱；正四面体?正方体； ②分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是等体积变换法(平行换点、换面)和比例法(性质转换)等 角与 距离 线线角θ ①综合法；②向量法：若两直线的方向向量为a，b，则cosθ＝|cos〈a，b〉| 线面角θ ①综合法；②向量法：若直线的方向向量为a，平面的法向量为n，则sinθ＝|cos〈a，n〉| 二面角θ ①综合法；②向量法 点面距 ①定义法；②等体积法 查能力树立信心 一、 单项选择题 1. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，若过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　) A． 12eq \r(2)π B． 12π C． 8eq \r(2)π D． 10π 2. 在三棱锥S－ABC中，若∠SAB＝∠ABC＝eq \f(π,2)，SB＝4，SC＝2eq \r(13)，AB＝2，BC＝6，则三棱锥S－ABC的体积是(　　) A． 4 B． 6 C．4eq \r(3) D． 6eq \r(3) 3. 在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为线段AA1的中点，F为线段C1D1上靠近D1的三等分点，则异面直线A1B与EF所成角的余弦值为(　　) A． eq \f(1,14) B． eq \f(\r(2),14) C．eq \f(\r(3),14) D． eq \f(1,7) 4. 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　) A． eq \f(1,10) B． eq \f(2,5) C．eq \f(\r(30),10) D． eq \f(\r(2),2) 二、 多项选择题 5. 如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则下列结论中正确的是(　　) A． 直线A1C1与AD1为异面直线 B． A1C1∥平面ACD1 C． 正方体的外接球的表面积为12π D． 三棱锥D1－ADC的体积为eq \f(8,3) 6. 如图，在平面四边形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，AB＝AD＝CD＝2，BD＝2eq \r(2)，∠BDC＝90°，将△ABD沿对角线BD折起至△A′BD，使得平面A′BD⊥平面BCD，则在四面体A′－BCD中，下列结论正确的是(　　) A． EF∥平面A′BC． B． 异面直线CD与A′B所成的角为90° C． 异面直线EF与A′C所成的角为60° D． 直线A′C与平面BCD所成的角为30° 三、 填空题 7. 在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两互相垂直，且OA＝OB＝OC＝a，若M是AB边的中点，则点O到平面ABC的距离为________，OM与平面ABC所成的角的正切值为________． 8. 已知球O在正方体ABCD－A1B1C1D1内，且与该正方体的六个面都相切，E为底面ABCD的中心，A1E与球O表面相交于点F，若AB＝2，则EF＝________. 四、 解答题 9. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，E为棱PC的中点． (1) 求证：BE⊥DC； (2) 求直线BE与平面PBD所成角的正弦值； (3) 若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值． 10. 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ABB1A1⊥平面AA1C1C，D为BB1的中点，AC＝AA1＝eq \r(2)AB，∠AA1C1＝60°，AB⊥AA1. (1) 试问：在CC1上是否存在一点H，使得B1H⊥A1D？若存在，求出CH∶HC1的值；若不存在，请说明理由． (2) 若线段B1C上有一点P，且B1P∶PC＝1∶2，求二面角P－AA1－D的余弦值．