第10练 椭圆的几何性质.docx

第10练　椭圆的几何性质 一、选择题 1．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为eq \f(1,2)，且它的长轴长等于4，则椭圆的标准方程是(　　) A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1 C.eq \f(x2,4)＋y2＝1 D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1 答案　A 解析　由题意，可设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)， 可知2a＝4，∴a＝2， 又e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)， ∴c＝1，则b2＝a2－c2＝3， ∴椭圆的标准方程是eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1. 2．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为(　　) A．(－3,0) B．(－4,0) C．(－10,0) D．(－5,0) 答案　D 解析　∵圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1， ∴圆心坐标是(3,0)， ∴c＝3. 又b＝4，∴a＝eq \r(b2＋c2)＝5. ∵椭圆的焦点在x轴上， ∴椭圆的左顶点为(－5,0)． 3．椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1和椭圆eq \f(x2,9－k)＋eq \f(y2,25－k)＝1(0<k<9)有(　　) A．等长的长轴 B．相等的焦距 C．相等的离心率 D．等长的短轴 答案　B 解析　椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的长轴长为2a＝10，焦距2c＝8， 离心率e＝eq \f(4,5)，短轴长2b＝6， 椭圆eq \f(x2,9－k)＋eq \f(y2,25－k)＝1(0<k<9)的长轴长2a′＝2eq \r(25－k)， 焦距2c′＝8，离心率e′＝eq \f(4,\r(25－k))，短轴长2b′＝2eq \r(9－k)， ∴两椭圆有相等的焦距． 4．设e是椭圆eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,k)＝1的离心率，且e∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，则实数k的取值范围是(　　) A．(0,6) B. (0,6)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(32,3)，＋∞)) C．(0,3)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,3)，＋∞)) D．(0,2) 答案　B 解析　当k>8时，c2＝k－8，焦点在y轴上，由条件知eq \f(1,4)<eq \f(k－8,k)<1，解得k>eq \f(32,3)； 当0<k<8时，c2＝8－k，由条件知eq \f(1,4)<eq \f(8－k,8)<1，解得0<k<6. 5．(多选)已知椭圆E：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,m)＝1，则(　　) A．若E的离心率为eq \f(1,3)，则m＝8 B．若m>9，E的焦点坐标为(0，±eq \r(m－9)) C．若0<m<9，则E的长轴长为6 D．不论m取何值，直线x＝－4都与E没有公共点 答案　BCD 解析　对于A，E的离心率为eq \f(1,3)，所以a＝3c， 当焦点在x轴上时，a＝3，c＝1，m＝a2－c2＝9－1＝8， 当焦点在y轴上时，a＝eq \r(m)，b＝3，c＝eq \f(\r(m),3)，所以a2＝b2＋c2?m＝eq \f(81,8)，A错误； 对于B，若m>9，焦点在y轴上，所以c2＝m－9，E的焦点坐标为(0，±eq \r(m－9))，B正确； 对于C，若0<m<9，则焦点在x轴上，所以a＝3，长轴长为6，C正确； 对于D，令y＝0，所以x＝±3，－3≤x≤3，所以不论m取何值，直线x＝－4都与E没有公共点，D正确． 二、填空题 6．椭圆x2＋3y2＝1的短轴长为__________． 答案　eq \f(2\r(3),3) 解析　由题意知椭圆x2＋3y2＝1， 即eq \f(x2,1)＋eq \f(y2,\f(1,3))＝1， 可得b＝eq \r(\f(1,3))，则短轴长是2b＝eq \f(2\r(3),3). 7．定义曲线eq \f(a2,x2)＋eq \f(b2,y2)＝1(a>b>0)为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的“倒椭圆”．已知焦点在x轴上的椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短轴长为4，离心率为eq \f(\r(3),2)，则它的“倒椭圆”的方程C2为__________________． 答案　eq \