【教案】诱导公式教学设计（第1课时）必修第一册.docx

课题：5.3.1 诱导公式（第1课时） （一）教学内容 诱导公式二~四（π±α，－α的正弦、余弦和正切）． 教学目标 1、从三角函数的定义出发，借助单位圆关于原点的对称性，能推导π＋α的正弦、余弦和正切，发展直观想象、逻辑推理素养． 2、通过类比公式二的推导过程，能自主探究－α，π－α的正弦、余弦和正切，得出公式三、公式四，获得基本思想，积累基本活动经验． 3、通过建立公式一~四之间的联系，能利用公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，会用公式一~四进行简单三角函数式的化简求值，发展数学运算的素养． （三）教学重点及难点： 1、重点 利用圆的对称性探究诱导公式二~四． 2、难点 建立单位圆的对称性与π＋α的正弦、余弦和正切之间的联系． 教学过程设计 问题1：（1）回顾任意角三角函数的定义、公式一、同角三角函数的基本关系式，并回顾它们的研究方法． （2）回答下列问题： ①点关于坐标原点的对称点的坐标是什么？ ②写出与点有如下对称性的点的坐标：关于原点对称的点，关于x轴对称的点，关于y轴对称的点． 师生活动：对于（1）教师引导学生回顾任意角三角函数的定义、公式一、同角三角函数的基本关系式，并总结研究方法：借助于单位圆，利用圆的一些几何性质来研究．对于（2）学生完成，有问题及时解决． 设计意图：通过（1）回顾之前学习过的相关知识，为提出新问题做好铺垫，通过（2）检查学生对直角坐标系中具有特殊对称关系的两个点的坐标间的关系的掌握情况，为得到公式二~四做好准备． 问题2：前面我们从三角函数的定义出发，研究了终边相同的角的三角函数之间的关系，你认为接下来应该研究什么呢？ 师生活动：学生可能会想到研究终边不相同的角的三角函数值之间的关系．教师追问：任意两个终边不相同的角的三角函数值之间有什么确定的关系吗？学生能够想到任意两个终边不相同的角的三角函数值之间是没有确定的关系的．教师继续追问：当两个角的终边有某些特殊的位置关系时，它们的三角函数值之间会不会就具有一定的关系了？你认为可以研究具有什么样的特殊位置关系的两个角的三角函数值之间的关系呢？学生可能会想到研究终边关于原点、x轴、y轴对称的角的三角函数值之间的关系．教师继续追问：可以想到研究三角函数值之间的关系要从定义出发，进而引出单位圆，而且圆也具有对称性，恰好与我们要研究的问题契合．进而学生可想到如下方法： 如图1，在直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点P1，作P1关于原点的对称点P2 （1）以OP2为终边的角β与角α有什么关系？ （2）角β，α的三角函数值之间有什么关系？ 图1 图1 图1 第一步，先从形上找到角之间的关系：以OP2为终边的角β都是与角π＋α 终边相同的角，即β=2kπ＋(π＋α)（k∈Z）． 第二步，建立关于原点对称的点的坐标之间的关系，将形的关系代数化： 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．因为P2，P1关于原点对称，所以x2＝－x1，y2＝－y1． 第三步，等量代换数得到三角函数值之间的关系：由三角函数的定义得 sin α＝y1，cos α＝x1，tan α＝eq \f(y1,x1)（x1≠0）；sin(π＋α)＝y2，cos(π＋α)＝x2，tan(π＋α)＝eq \f(y2,x2)（x2≠0）． sin（π＋ sin（π＋α）＝－sin α， cos（π＋α）＝－cos α， tan（π＋α）＝tan α． 追问1：问题中给出的α是任意角，而我们图中的α为第一象限角，我们得到的结论适用于任意角吗？ 师生活动：学生思考、讨论得出：无论α的终边在什么位置，点P1、P2关于原点对称的位置关系不变，因此坐标间的关系也不变，π＋α与α的三角函数值的关系就不会改变． 追问2：归纳推导公式二的过程，你能给出主要的研究路径吗？ 师生活动：学生思考、交流后得出研究路径： 单位圆的对称性→角与角的关系→对称点的坐标间的关系→三角函数值之间的关系． 设计意图：在探究过程中，引导学生从三角函数定义出发，使他们认识到可以利用圆的对称性研究三角函数的性质，感受由形到数的转化，感悟数形结合的思想方法，提升直观想象素养．带领学生梳理研究路径，进一步明确研究的方向和步骤，为后续的自主探究打下基础． 问题2：类比公式二的探究过程，借助于平面直角坐标系，你认为还需要研究点P1的哪些特殊的对称点？又能得出怎样的结论呢？ 师生活动：学生可以自然地发现还需要研究点P1关于x轴、y轴对称的点．通过自主探究、小组讨论，教师巡视观察，适时引导．大多数学生可以独立完成公式三、四的推导． sin（ sin（π－α）＝sin α， cos（π－α）＝－cos α， tan（π－α）＝－tan α． sin（－α）＝－sin α， cos（－α）＝cos α， tan（－α）＝－tan α． 公式三：