【教案】诱导公式的应用教学设计（第2课时）-高中数学新教材必修第一册.docx

5.3.2 诱导公式的应用（第2课时） （一）教学内容 诱导公式五、六（±α的正弦、余弦和正切）． （二）教学目标 1、从三角函数的定义出发，借助单位圆的对称性，能推导±α的正弦、余弦和正切，发展直观想象、逻辑推理素养． 2、通过分析公式五、公式六之间的关系，以及公式一~公式六之间的联系，形成诱导公式的整体架构，能利用诱导公式进行三角函数式的化简、求值与证明，发展数学运算的素养． （三）教学重点及难点： 1、重点 诱导公式五、六的探究． 2、难点 终边关于对称的两个角之间的关系． （四）教学过程设计 问题1：上一节课，我们研究了公式二~公式四，你能说说我们是如何得到这些公式的吗？ 师生活动：学生发言回顾公式二~公式四的研究方法、研究路径，教师适时补充完善． 追问：两个角的终边除了关于原点、x轴和y轴对称外，你认为还有哪些对称关系值得研究？你打算怎样研究？ 师生活动：上节课已经埋下伏笔，学生交流后确定值得研究的问题：两个角的终边关于对称时，这两个角的三角函数之间的关系，研究方法与前面类似． 设计意图：通过回顾公式二~公式四的研究内容、研究路径，为研究公式五、六做好思想方法的准备，通过追问，引导学生发现和提出值得研究的问题，培养发现和提出问题的能力． 问题2：你能类比公式二~公式四的研究过程，探究终边关于直线对称的两个角的三角函数的关系吗？ 师生活动：学生类比公式二~公式四的研究过程画图独立思考尝试： 在直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点P1，作P1关于直线的对称点P5 （1）以OP5为终边的角为与角α有什么关系？ （2）角与角α的三角函数值之间有什么关系？ 这里作P1关于直线y=x的对称点P5，确定以OP5为终边的角时，学生可能只画一种情况（如图一），以为终边的角都是与角终边相同的角，即．因此，只要探究角与的三角函数值之间的关系即可． 追问1：提醒学生可以画终边在不同象限（或坐标轴上）的角（如图二），观察是否仍然成立？ 图一 图二 图三 师生活动：这里可以采用验证的方法：先将与x轴非负半轴重合的射线绕原点旋转，旋转方向与角的方向相反，大小与相等，得到角的终边，再将逆时针旋转到，可以发现与OP1关于直线y=x对称．因此，与角终边关于直线y=x对称的角始终有的关系． 追问2：角的关系已经有了，那直角坐标系中关于直线y=x对称的两个点P1与P5的坐标之间有什么关系呢？ 师生活动：学生分小组讨论，可以就图一先猜想点P1（x1，y1）与点P5（x5，y5）关于y=x对称，那么有 x5= y1，y5= x1．引导学生利用全等知识对图一进行证明：如图三，作P1关于y轴的垂线，P5关于x轴的垂线，由于P1与P5关于y=x对称，我们可以证明图中的两个三角形全等，因此对应边相等，将长度转化为坐标关系，就有x5= y1，y5= x1．对于终边的其他的不同位置，同学们课后可以去证明它们的坐标依然有这种等量关系. 追问3：最后角与角的三角函数值有什么关系？ 师生活动：学生独立思考写出诱导公式五. 公式五：. 设计意图：此处与第一课时的公式二的研究方法相同，不同之处在于对称轴变为直线，增加了推导的难度．将难点细化为问题串，引导学生逐个击破，经历推导公式的过程，培养学生转化与化归的思想，提升直观想象与逻辑推理素养． 问题3：作关于y轴的对称点，又能得到什么结论？ （1）以为终边的角与角有什么关系？ （2）角的终边与角的终边具有怎样的关系？ （3）与的坐标之间有什么关系？与P1的坐标之间又有什么关系呢？ （4）角与角的三角函数值之间又有什么关系？ 师生活动：给出问题后，学生先类比问题2的解决方法独立思考，然后交流，教师适时补充完善． （1）以为终边的角都是与角终边相同的角，即．只要探究角与的三角函数值之间的关系即可． （2）轴对称角度：角的终边首先关于直线作对称，再关于y轴作对称，就得到的终边． 旋转角度：角的终边逆时针旋转角，就得到角的终边． （3）通过观察易得：；． （4），（公式六）． 追问：你能不能从代数变换角度，利用已有公式直接推出公式六？ 师生活动：学生独立思考得出： ； 设计意图：基于公式五的背景增加新的研究条件，提出问题，有利于培养学生发现与提出问题的能力．这里的重点是利用前面的学习经验，通过适当的几何变换、坐标变换，得出角与角的关系，以及点与、P1的坐标之间的关系，让学生进一步熟悉研究的一般方法． 通过追问，引导学生用不同的方法推导公式，从不同的角度认识公式，建立公式之间更紧密的联系，提升对诱导公式整体性的认识，为灵活运用公式解决问题打下基础．提升直观想象、逻辑推理素养． 问题四：例1证明：（1）； （2）. 师生