【教案】三角函数的概念教学设计（第1课时）必修第一册.docx

课题：5.2.1 三角函数的概念教学设计（第1课时 ） （一）教学内容 任意角的三角函数概念. （二）教学目标 通过数学抽象，能够将匀速圆周运动归结到单位圆上的点的运动规律的刻画，借助单位圆上点的坐标定义三角函数，进而建立三角函数的概念，体会数形结合思想方法的作用，发展直观想象、数学抽象等核心素养. （三）教学重点及难点 1.教学重点：任意角的三角函数概念. 2.教学难点：如何建立任意角的三角函数概念. （四）教学过程设计 图1引导语 ：现实世界中存在着各种各样的“周而复始”的变化现象，圆周运动是这类现象的代表，如右图1所示,☉上的点以为起点做逆时针旋转,在弧度制下，我们已经将角的范围扩展到全体实数，能否建立一个函数模型，刻画点的位置变化情况? 图1 师生活动：教师提出问题，学生独立思考后，在已有的研究函数的经验基础上能够给出研究路径：明确研究背景--对应关系的特点分析--下定义--性质. 追问：要解决这个问题，我们需要什么工具？ 学生能够说出建立函数模型,需要利用直角坐标系，并先研究单位圆上点的运动， 如图，以单位圆的圆心为坐标原点，以射线为轴的非负半轴，建立直角坐标系，点的坐标是，点的坐标是. 把该问题抽象为一个质点从点开始在单位圆上的运动. 问题1：当时，点P的坐标是什么？当或时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？ 师生活动：教师提出问题后，学生进行讨论.利用勾股定理可以发现，当? =时，点的坐标是(32， 12)；当或时，点的坐标分别是(0，1)和 设计意图：先研究特殊角下点坐标，再研究任意角下点坐标.体现由特殊到一般的思想. 问题2：一般地，任意给定一个角?，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？ 师生活动：教师提出问题后，学生进行讨论.因为单位圆的半径不变，点的坐标只与角的大小有关，当角确定时，点的坐标是也唯一确定. 追问1：用GGB动态展示角变化的过程，观察角的终边与单位圆的交点的坐标，有什么发现？能运用函数的语言刻画这种对应关系吗？ 师生活动：对任意一个实数，它的终边与单位圆的交点的横、纵坐标都是唯一确定的，有如下对应关系： 任意角(弧度)→唯一实数； 任意角(弧度)→唯一实数．　 一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标，无论是横坐标，还是纵坐标，都是唯一确定的.所以，点的横坐标、纵坐标都是角的函数. 设计意图:以函数的对应关系为指向，从特殊到一般，使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆的交点的横、纵坐标都是圆心角(弧度)的函数，为引出三角函数的定义做好铺垫. 问题3：通过阅读教科书第177-178页，你能给出三角函数的定义吗？ 师生活动：教师给出图示，学生结合图中信息给出三个定义，设是一个任意角，它的终边与单位圆相交于点，那么把点的纵坐标叫做的正弦函数，记做，即； 把点的横坐标叫做的余弦函数，记做，即； 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记做，即. 可以看出，当? =（）时，?的终边在 轴上，这时点 的横坐标 x 等于0，所以=无意义．除此之外，对于确定的角，的值也是唯一确定的．所以，=（x≠0）也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数． 追问1：符号，和分别表示什么？在之前有过类似的引入特定符号表示一种量的经历吗？ 学生独立思考，能回忆并类比已有知识，（引入符号）理解三角函数符号的意义. 追问2：任意角三角函数的定义域分别是什么呢? 学生进行讨论.正弦函数和余弦函数的定义域都是实数集，即，对于正切函数而言，要求点的横坐标，即角的终边不能位于轴上，那么正切函数的定义域为. 设计意图：在问题的引导下，通过阅读教科书使学生对三角函数定义有更深刻的理解. 问题4: 任意角三角函数的定义是否符合高中函数的定义呢？ 师生活动：教师提出问题后，学生进行讨论.正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或者坐标的比值为函数值的函数.由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数. 按照函数的定义与常用的符号，我们通常将它们记为 正弦函数 y = sinx，x∈R； 余弦函数 y = cosx，x∈R； 正切函数 y = tanx，x≠（） 将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数. 追问1：这个定义相对于锐角三角函数的定义有什么不同呢? 师生活动：任意角的三角函数是通过角与单位圆交点的坐标定义的，锐角三角函数是通过直角三角形边长的比值定义的，在单位圆中直角三角形斜边为1，所以锐角三角函数也可用角的终边与单位圆交点的坐标定义，此时终边上的点都在第一象限，因此锐角三角函数值都是正数，而任意角的三角函数值可以是负数. 设计意图：引导学生将任意角三角函数纳入到函数中，丰富学生对三角函数的