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高中一元三次方程解法 一元三次方程有三种解法，包括卡尔丹公式法、盛金公式法和因式分解法。简单地说就是公式法和因式分解法。和一元二次方程的解法中的公式法和因式分解法有相似之处，公式法适用于一切方程，而因式分解法一般只适用于存在有理数根的方程。当然三次方程应用因式分解法的主要目的是为了降次，因此它也有可能在存在无理根或复数根时使用因式分解法。 我们平时用得比较多的还是因式分解法。比如x^3-1=0或x^3+1=0，都有因式分解的公式可以直接应用。前者得到(x-1)(x^2+x+1)=0，后者得到(x+1)(x^2-x+1)=0. 由此得到方程的一个有理根和一对共轭虚根。当然，这里的1可以换成任意实数，因为任意实数都可能写成一个数的三次方。 对于标准型的一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a，b，c，d∈R，且a≠0)，以上所举的例子属于a=1, b=0, c=0的特殊形式。当b,c至少有一个不等于0时，一元三次方程就不一定能分解出一个有理根。所以因式分解法并不一定适用于所有一元三次方程。这时候如果想要使用因式分解法，就必须满足存在有理根的条件，否则很难因式分解。 比如三次方程：x^3+x^2-x+2=0，通过观察，我们可以用多项式x^3+x^2-x+2除以x+2，就得到x^2-x+1，因此可以用因式分解法得到(x+2)(x^2-x+1)=0，同样可以得到一个实根x=-2，和两个共轭虚根。但是三次方程x^3+x^2-x+1=0就无法应用因式分解法了。这时候就要用公式法。 卡尔丹公式法相对比较复杂，而盛金公式法就简单得多。纯讲知识的内容既干枯燥又难懂，因此接下来就对这个方法，分别运用两个公式，做一个演示，希望能你从演示的过程中得到启发，学会这两种公式法。 三次方程x^3+x^2-x+1=0中，a=1, b=1, c=-1，d=1. 令x=y-b/(3a)=y-1/3代入方程，得到：(y-1/3)^3+(y-1/3)^2-(y-1/3)+1=0，化简得y^3-4y/3+38/27=0. 这是特殊型的一元三次方程y^3+py+q=0(p,q∈R). 其中p=-4/3, q=38/27. 接下来求卡尔丹判别式：△=(q/2)^2+(p/3)^3=361/729-64/729=11/27. 当Δ>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；当Δ=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；当Δ<0时，方程有三个不相等的实根。这里属于第二种情形。 u=三次根号内(-q/2+根号(△))=三次根号内(-19/27+根号(11/27))=三次根号内(-19+3倍根号33)/3, v=三次根号内(-19-3倍根号33)/3. 而方程的实根y1=u+v. 两个共轭虚根分别是y2=wu+w^2v和y3=w^2u+wv，其中w=(-1+根号3 i)/2. 把u,v代入耐心求解就可以得到y的三个解。最后还要代入x=y-1/3，求得x的三个解。 接下来看一下盛金公式的解法 ，它不需要化为特别形式，只需要用标准式就可以了。不过要求三个重根判别式。A=b^2-3ac=4；B=bc-9ad=-10；C=c^2-3bd=-2. 然后再求总判别式△=B^2-4AC=132. 当A=B=0时，盛金公式1可以直接得到三个根等的根等于-b/3a=-c/b=-3d/c。虽然这个方程不属于这个类型。 当△>0时，盛金公式2可以得到一个实根和两个公轭虚根。其公式相当复杂，这里给出图片，请自行理解。 当△=0时，盛金公式3可以得到三个实根，其中两个是重根，即x1=-b/a+K; x2=x3=-K/2，其中K=B/A, (A不等于0)。 当△<0时，盛金公式4可以得到三个根，如下图： 可以看到，一元三次方程的解法如果不能运用因式分解法的话，多数都是非常复杂的，而中学生主要还是运用因式分解法为主，但是在许多专业的工程学，都需要用到公式法来解一元三次方程，但动笔解得还是比较少，我们可以借助计算机程序来求解。