【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题5 数列（50题竞赛真题强化训练）解析版.docx

试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页 【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题5 数列 （50题竞赛真题强化训练） 一、填空题 1．（2020·江苏·高三竞赛）从集合中取出225个不同的数，组成递增的等差数列，满足要求的数列共有_________个． 【答案】8100## 【解析】 【详解】 解析：由题意可得，且为正整数，则． 故必须满足，分别讨论公差的取值情形； 当公差为1时，共1796组； 公差为2时，共1572组； 当公差为3时，共1348组． 组数依次构成公差为-24的等差数列， 而公差为9时，共有4组，故满足要求的数列共有． 故答案：. 2．（2021·浙江金华第一中学高三竞赛）设，，，则的值为______． 【答案】-24 【解析】 【分析】 【详解】 由于 , 从而, 由此可知,即数列为等比数列. 故 . 故答案为：. 3．（2021·全国·高三竞赛）记，则___________. 【答案】 【解析】 【详解】 . 故答案为：. 4．（2021·全国·高三竞赛）设数列的首项，且求． 【答案】 【解析】 【详解】 若n为偶数，则，即， 所以， 于是．故． 若n为奇数，则，即， 所以． 于是，； 故答案为：. 5．（2021·全国·高三竞赛）已知数列满足：，且当为偶数时，；当为奇数时，.若，则___________. 【答案】或56##56或9. 【解析】 【详解】 解析：（1）当m是奇数时，是偶数，所以，，或，解之得或，经检验，. （2）当m是偶数时， ①当时，，或， 解之得或，所以或8，经检验，. ②当时，，所以，无解. 综上所述，或56. 故答案为：或56. 6．（2021·浙江·高三竞赛）设，，…，满足，，且，则数列的通项______. 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】 , 令 , 则 , , 又是以3为首项,3为公比的等比数列, , 由累乘法可知：， , 经检验满足上式, 故答案为：. 7．（2021·浙江·高三竞赛）已知整数数列，，…，，满足，，且（，2，…，9），则这样的数列个数共有______个. 【答案】192 【解析】 【分析】 【详解】 分情况讨论： ①先考虑,设，则： (1); (2); (3); (4); (5); (6); ②再考虑,同理共有4种,且,其中; ③最后考虑共有8种,且,其中,所以,故一定有解, 综上共有个; 故答案为：192. 8．（2021·浙江·高二竞赛）设，，，，则______. 【答案】6 【解析】 【分析】 【详解】 . 故答案为：6. 9．（2021·全国·高三竞赛）已知数列满足，，则整数k的最小值是___________． 【答案】1 【解析】 【分析】 【详解】 因为，故有， 平方得，，所以， 故，因此. 故答案为：1. 10．（2021·全国·高三竞赛）已知数列满足，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】 由原式可得， 令，则原式变为， 累加得，所以． 故答案为：. 11．（2021·全国·高三竞赛）数列与满足：，若对任意正整数k，都有，则实数t的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】 【详解】 将条件两式相加，得．又，所以， 将条件两式相减，得， 所以． 又，所以， 故，所以， 所以， ， 故，所以t的最小值为4． 故答案为：4. 12．（2021·全国·高三竞赛）数列满足：.则_______. 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】 由题意，特征方程是 ， 所以是以24为周期的数列， 故. 故答案为：. 13．（2021·全国·高三竞赛）若数列满足：对任意，均有成立，且都是等比数列，其公比分别为，若，且对任意恒成立，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】 由题意知． 代入，得． ．???????????????????????????① 由①可知，所以， ． 又因为，由数学归纳法知， 所以， 即， 可得， 有． 当为奇数时，可得，?????????????????????????????????② 当为偶数时，可得．?????????????????????????????????③ 将代入②整理得，所以． 同理，代入③整理得， 所以． 故答案为：. 14．（2021·全国·高三竞赛）数列{an}满足：(其中[an]和{an}分别表示实数an的整数部分与小数部分)，则a2019=____________ . 【答案】 【解析】 【详解】 ，， ， ， 归纳易得，. 因此. 故答案为：． 15．（2019·贵州·高三竞赛）已知集合A={1，2，3，…，2019}，对于集合A的每一个非空子集的所有元素，计算它们乘积的倒数.则所