【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题6 不等式（50题竞赛真题强化训练）解析版.docx

试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页 【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题6 不等式 （50题竞赛真题强化训练） 一、填空题 1．（2020·江苏·高三竞赛）已知正实数，，满足，则的最小值为__________． 【答案】10 【解析】 【详解】 解析：易知恒等式，而 ， 当且仅当，时，等号成立． 故答案为：10. 2．（2021·全国·高三竞赛）已知，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】 ，当且仅当时取到等号． 故答案为：. 3．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数满足，则的最小值为________． 【答案】##0.5 【解析】 【详解】 由柯西不等式知 ， 且，所以， 且当时取到等号． 故答案为：. 4．（2021·全国·高三竞赛）实数a?b满足，则的最大值是___________. 【答案】 【解析】 【详解】 解析：不妨设，则： ， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为， 故答案为：. 5．（2021·全国·高三竞赛）已知圆与轴相交于两点，抛物线与圆相交于两不同的点，则梯形面积的最大值是___________. 【答案】 【解析】 【详解】 解析：设点，则梯形的面积为， 而消元，可得面积为， 故，当且仅当时等号成立， 故面积最大值为. 故答案为：. 6．（2020·浙江·高三竞赛）设，则__________. 【答案】. 【解析】 【详解】 设，则， 所以. 设给定的正实数，， 令，解得，，所以. 则， 当且仅当 ，时等号均成立， 故的最大值为, 故答案为：. 7．（2021·全国·高三竞赛）设满足，则的最大值是___________. 【答案】 【解析】 【详解】 取，使. 由于， 所以 . 最大值为. 故答案为：. 8．（2021·全国·高三竞赛）设n是给定的正整数，是非负实数，，则的最小值是___________. 【答案】 【解析】 【详解】 先证明，① 事实上，两边平方后，化简可得上述不等式等价于 ，② 由于，于是②式成立，所以①成立. 类似可证明 最后可得.③ 当时，③中的“”即为“”. 所以最小值为. 故答案为：. 9．（2021·浙江·高三竞赛）已知，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】 因为 . 当，时，取得最小值. 故答案为：. 10．（2021·浙江·高三竞赛）使得对一切正实数，恒成立的最大实数为______. 【答案】9 【解析】 【分析】 【详解】 不妨设,则有, 令,则有. 则有, 整理得. 即有, 则恒成立,则有. 故答案为：9. 11．（2021·浙江·高三竞赛）若，则函数的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】 令， , 当且仅当即时取等号. 故答案为：. 12．（2021·全国·高三竞赛）已知等腰直角的三个顶点分别在等腰直角的三条边上，记、的面积分别为、，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】 （1）当的直角顶点在的斜边上，如图1所示，则P，C、Q，R四点共圆，，所以． 在、中分别应用正弦定理得． 又，故，即R为的中点． 过R作于H，则， 所以，此时的最小值为． （2）当的直角顶点在的直角边上，如图2所示． 设， 则． 在中，，在中， ， 由正弦定理，，因此． 这样，， 当且仅当时取等号，此时的最小值为． 故答案为：. 13．（2021·全国·高三竞赛）已知非负实数x、y、z满足，则的最小值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】 【详解】 设，则．又因为， 所以，． 点在圆心为，半径为2的圆上运动， 结合几何意义和，知，当时，有最小值3， 且当时等号成立． 故答案为：3. 14．（2021·全国·高三竞赛）已知两个非零向量满足，则的最大值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】 设，则．则： . 当且仅当，即时，等号成立．即最大值为. 故答案为：. 15．（2021·全国·高三竞赛）设三个不同的正整数成等差数列，且以为三边长可以构成一个三角形，则的最小可能值为________. 【答案】10 【解析】 【分析】 【详解】 设为正整数，由于以为三边长可以构成一个三角形， 则， 所以， 于是，即有. 故答案为：10. 16．（2021·全国·高三竞赛）设，且满足，则的最大值为_________． 【答案】12 【解析】 【分析】 【详解】 注意到， 解得， 而时取到最大值12． 故答案为：12. 17．（2021·全国·高三竞赛）设正实数满足，则最大值为_________． 【答案】 【解析】 【详解】 解析：最大值为． 记，则，故，即，对, 求和，并结合算术-几何平均不等式， 有， 故，