中考正多边形和圆知识点_7744.docx

v1.0可编写可改正 正多边形和圆知识点 学习要求： 认识正多形的观点，掌握用平分周画内接正多形的方法，能熟地行正三角 形、正方形、正六形相关的算. 内容剖析： 1．正多边形的定义： 各相等，各角也相等的多形叫做正多形。 2．正多边形与圆的相关定理 把分红n(n≥3)等份： (1) 依次各分点所得的多形是个的内接正 n形； (2) 各分点作的切，以相切的交点点的多形是个的外切正 n 形； 任何正多形都有一个外接与一个内切，两个是同心。 注意：①依据正多形与的相关定理(1)、(2)，只需能将一个分红n(n≥3)等份， 就能够获得个的内接正n形及外切正n形，想一想，你可否利用直尺和作已知 的内接(或外切)正三角形、正方形、正六形、正十二形； ②怎样明任何一个正多形A1A2A3??An-1An都有一个外接呢？ 我可A1、A2、A3三点作一个⊙O，分OA1、OA2、OA3，OA4，通明△OA1A2≌ △OA3A4，获得OA4=OA3=OA2=OA1. 进而点A4在⊙O上，同理可A5、A6??An-1、An其余各点也都在⊙O上，可推出此正 多形有一个外接。 想一想，在此基上怎样明⊙O的心O点也是其内切的心呢？ 正多边形的其余性质 (1)正多形都是称形，一个正n形共有n条称，每条称都通正n 1 v1.0可编写可改正 边形的中心，边数为 偶数的正多边形仍是中心对称图形，它的中心就是对称中心。 边数相同的正多边形相像。 正多边形的相关计算 正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形 的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做 正多边形的中心角。 正n边形的相关计算公式 (1) (2) (3) 注意：①同一个圆的内接正n边形和外切正n边形是相像形，相像比是圆的内接正n 边形边心距与它的半径之比。这样，同一个正n边形的内切圆和外接圆的相像 比 ②常用协助线：连半径，作边心距，由正多边形的半径、边心距和边长组成的直角 三角形集中反应了正多边形各元素间的关系，是解计算问题的基本图形，并且正n边形的半 径和边心距把正n边形分红2n个全等的直角三角形。 例题剖析： 2 v1.0可编写可改正 1．圆内接正六边形的周长为24，则该圆的内接正三角形的周长为（） A．12B．6C．12D．6 解：由题意知正六边形的边长为4，故其外接圆半径也为4， 如图，O为正△ABC的中心， 连结OA，则∠OAB=30°，OA=4，作OD⊥AB于D，则AD=OA·cos30°=2， AB=4，周长为12， ∴选C． 2．若一个正三角形的周长与一个正六边形的周长相等，试求这个正三角形与这个 正六边形的面积之比。 解：设正三角形的边长为a，正六边形的边长为b。 则6b=3a，即 ∵正三角形的面积 正六边形的面积 答：这个正三角形与这个正六边形的面积比为2：3。 3．如图，是两个相同的正六边形，其中一个正多边形的极点在另一个正多边形外 接圆圆心O处．求重叠部分面积与阴影部分面积之比. 3 v1.0可编写可改正 剖析：此题是一道与正六边形相关的计算题.两个正六边形，要求重叠部分面积与阴 影部分面积之比，只需找到重叠部分面积、阴影部分面积与正六边形ABCDEF面积的关系 即可解决问题. 解：如图，连结OA、OB、OC，设OA′交AB于K，OE′交CD于H， 因为∠AOK=∠AOC-∠KOC=120°-∠KOC， COH=120°-∠KOC， 所以∠AOK=∠COH， 又∠OAK=∠OCH=60°，OA=OC， 所以△AOK≌△COH， 所以S五边形OKBCH=S四边形ABCO=2S△OBC， 所以S阴影=S正六边形ABCDEF-S五边形OKBCH=6S△OBC-2S△OBC=4S△OBC. S ：S 阴影 = . 五边形OKBCH 即重叠部分面积与阴影部分面积之比. 【总结】此题经过利用正六边形的相关性质，结构全等三角形，将不规则图形的面积用 同一个三角形的面积表示出来体现了一种数学思想——转变思想。这也是解决正多边形相关 问题常用到的数学思想。 已知：如图，正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于M。 2 求证：BE·BM=EM。 剖析：应将共线的BE、BM、EM之间的数量关系的证明问题，转变为不共线的三条线段 之间的关系由于AB=AE=EM，可将结论改证为 2 AB=BM·BE，即证△ABM∽△BEA. 证明：由正五边形的性质，不难得出∠ EAB=108°，∠AEB=∠ABE=∠MAB=36° 4 v1.0可编写可改正 进而∠EAM=∠EMA=72°，∠AMB=108° EM=EA=AB 在△ABM和△BEA中 ∴△ABM∽△BEA 2 而EM=AB∴BE·BM=EM 2 想一想：EM=BE·BM这个结论说了