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专题6 二次函数与平行四边形存在性问题
以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是中考的热点难点之一,其图形复杂,知识覆盖面广,综合性较强,对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题,常规解法是先画出平行四边形,再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决.由于先要画出草图,若考虑不周,很容易漏解.
解决抛物线中的平行四边形存在性问题,常用的结论和方法有:线段中点坐标公式、平行四边形顶点坐标公式、画平行四边形.
平面直角坐标系中,点 的坐标是,点B的坐标是,则线段AB的中点坐标是.
平行四边形ABCD的顶点坐标分别为、、、,则,
.
已知不在同一直线上的三点A、B、C,在平面内找到一个点D,使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形,有三种情况:
【例1】(2021?赤峰)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣3,0)、B(1,0)两点,与y轴交于点C,对称轴l与x轴交于点F,直线m∥AC,点E是直线AC上方抛物线上一动点,过点E作EH⊥m,垂足为H,交AC于点G,连接AE、EC、CH、AH.
(1)抛物线的解析式为 ;
(2)当四边形AHCE面积最大时,求点E的坐标;
(3)在(2)的条件下,连接EF,点P是x轴上一动点,在抛物线上是否存在点Q,使得以F、E、P、Q为顶点,以EF为一边的四边形是平行四边形.若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
【分析】(1)利用待定系数法构建方程组求出b,c即可.
(2)如图1中,连接OE.设E(m,﹣m2﹣2m+3).由题意AC∥直线m,推出△ACH的面积是定值,因为S四边形AECH=S△AEC+S△ACH,推出当△AEC的面积最大时,四边形AECH的面积最大,构建二次函数,利用二次函数的性质解决问题即可.
(3)如图2中,因为点Q在抛物线上 EF是平行四边形的边,观察图象可知,满足条件的点Q的纵坐标为±,构建方程求解即可.
【解析】(1)∵y=﹣x2+bx+c与x轴交于(﹣3,0)、B(1,0),
∴,
解得,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3.
故答案为:y=﹣x2﹣2x+3.
(2)如图1中,连接OE.设E(m,﹣m2﹣2m+3).
∵A(﹣3,0),C(0,3),
∴OA=OC=3,AC=3,
∵AC∥直线m,
∴△ACH的面积是定值,
∵S四边形AECH=S△AEC+S△ACH,
∴当△AEC的面积最大时,四边形AECH的面积最大,
∵S△AEC=S△AEO+S△ECO﹣S△AOC=×3×(﹣m2﹣2m+3)+×3×(﹣m)﹣×3×3=﹣(m+)2+,
∵﹣<0,
∴m=﹣时,△AEC的面积最大,
∴E(﹣,).
(3)存在.如图2中,因为点Q在抛物线上 EF是平行四边形的边,观察图象可知,满足条件的点Q的纵坐标为±,
对于抛物线y=﹣x2﹣2x+3,当y=时,﹣x2﹣2x+3=,解得x=﹣(舍弃)或﹣,
∴Q1(﹣,).
当y=﹣时,﹣x2﹣2x+3=﹣,解得x=,
∴Q2(,﹣),Q3(,﹣).
综上所述,满足条件的点Q坐标为(﹣,)或(,﹣)或(,﹣).
【例2】(2021?湘西州)如图,已知抛物线y=ax2+bx+4经过A(﹣1,0),B(4,0)两点,交y轴于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接BC,求直线BC的解析式;
(3)请在抛物线的对称轴上找一点P,使AP+PC的值最小,求点P的坐标,并求出此时AP+PC的最小值;
(4)点M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)利用待定系数法解决问题即可.
(2)设BC的解析式为y=kx+b,把B,C两点坐标代入,转化为方程组解决.
(3)可以连接BC交直线x=于点P,连接PA,此时PA+PC的值最小,最小值为线段BC的长.
(4)观察图象可知,满足条件的点N的纵坐标为4或﹣4,把问题转化为解方程求解即可.
【解析】(1)把A(﹣1,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+4,得到,
解得,
∴y=﹣x2+3x+4;
(2)在y=﹣x2+3x+4中,令x=0,则y=4,
∴C(0,4),
设BC的解析式为y=kx+b,
∵B(4,0),C(0,4),
∴,
∴,
∴直线BC的解析式为y=﹣x+4.
(3)如图1中,
由题意A,B关于抛物线的对称轴直线x=对称,
连接BC交直线x=于点P,连接PA,此时PA+PC的值最小,最小值为线段BC的长==4,
此时P(,).
(4)如图2中,存在.
观察图象可知,满足条件的
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