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专题10二次函数与线段最值定值及数量关系问题
图形运动的过程中,求两条线段之间的函数关系,是中考数学的热点问题.
产生两条线段间的函数关系,常见的情况有两种,一是勾股定理,二是比例关系.还有一种不常见的,就是线段全长等于部分线段之和.由比例线段产生的函数关系问题,在两种类型的题目中比较常用.
一是由平行线产生的对于线段成比例,二是相似三角形的对应边成比例.
一般步骤是先说理产生比例关系,再代入数值或表示数的字母,最后整理、变形,根据要求写出定义域.关键是寻找比例关系,难点是有的整理、变形比较繁琐,容易出错.
【例1】(2021?沈阳)如图,平面直角坐标系中,O是坐标原点,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),点B坐标是(3,0).抛物线与y轴交于点C(0,3),点P是抛物线的顶点,连接PC.
(1)求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标.
(2)直线BC与抛物线对称轴交于点D,点Q为直线BC上一动点.
①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时,求点Q的坐标;
②在①的条件下,当点Q在x轴上方时,过点Q作直线l垂直于AQ,直线y=x﹣交直线l于点F,点G在直线y=x﹣上,且AG=AQ时,请直接写出GF的长.
【分析】(1)将(0,3)和(3,0)代入y=﹣x2+bx+c可得;
(2)①求出△PCD的面积,设Q(a,3﹣a)利用S△QAB=2S△PCD求得;
②利用AQ=AG列出方程,求出G点的坐标,根据联立直线BC和QF的关系式,求出F的坐标,从而求得GF.
【解答】解(1)由题意得,
,
∴b=2,
∴y=﹣x2+2x+3
=﹣((x﹣1)2+4,
∴P(1,4).
(2)①如图1,
作CE⊥PD于E,
∵C (0,3),B (3,0),
∴直线BC:y=﹣x+3,
∴D(1,2),可设Q(a,3﹣a),
∴CE=PE=DE,
∴△PCD是等腰直角三角形,
∴S△PCD=PD?CE=×2×1=1,
∴AB?|3﹣a|=2,
∴×4?|3﹣a|=2,
∴a=2或a=4.
∴Q(2,1)或(4,﹣1).
②如图2,
设G(m,m﹣),
由AG2=AQ2得,
(m+1)2+=(2+1)2+12,
化简,得
5m2+2m﹣16=0,
∴m1=﹣2,m2=,
∴G1(﹣2,﹣3),G2(,﹣),
作QH⊥AB于H,
∵AQ⊥QF,
∴△AHQ∽△QHM,
∴QH2=AH?HM,
即:12=3?HM,
∴HM=,
∴M(,0),
设直线QM是:y=kx+b,
∴,
∴k=﹣3,b=7,
∴y=﹣3x+7,
由得,
x=,y=﹣
∴F(,﹣)
∴G1F==,
G2F==.
【例2】(2021?滨州)如下列图形所示,在平面直角坐标系中,一个三角板的直角顶点与原点O重合,在其绕原点O旋转的过程中,两直角边所在直线分别与抛物线y=x2相交于点A、B(点A在点B的左侧).
(1)如图1,若点A、B的横坐标分别为﹣3、,求线段AB中点P的坐标;
(2)如图2,若点B的横坐标为4,求线段AB中点P的坐标;
(3)如图3,若线段AB中点P的坐标为(x,y),求y关于x的函数解析式;
(4)若线段AB中点P的纵坐标为6,求线段AB的长.
【分析】(1)根据点A、B的横坐标分别为﹣3、,可以先求的点A和B的坐标,平行线分线段成比例定理可以得到EC=ED,然后即可得到点P的坐标;
(2)根据点B的横坐标为4,可以求得点B的坐标,然后根据相似三角形的判定与性质,可以求得点A的坐标,再根据(1)求中点坐标的方法可以求得点P的坐标;
(3)根据相似三角形的判定与性质,可以求得点A和点B的坐标与点P坐标的关系,从而可以得到y与x的关系;
(4)将y=6代入(3)中的函数关系式,可以求得点P的横坐标的平方,然后根据勾股定理可以得到OP的长,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即可得到线段AB的长.
【解答】解:(1)∵点A、B在抛物线y=x2上,点A、B的横坐标分别为﹣3、,
∴当x=﹣3时,y=×(﹣3)2=×9=,当x=时,y=×()2=×=,
即点A的坐标为(﹣3,),点B的坐标为(,),
作AC⊥x轴于点C,作BD⊥x轴于点D,作PE⊥x轴于点E,如右图1所示,
则AC∥BD∥PE,
∵点P为线段AB的中点,
∴PA=PB,
由平行线分线段成比例,可得EC=ED,
设点P的坐标为(x,y),
则x﹣(﹣3)=﹣x,
∴x==﹣,
同理可得,y==,
∴点P的坐标为(﹣,);
(2)∵点B在抛物线y=x2上,点B的横坐标为4,
∴点B的纵坐标为:y=×42=8,
∴点B的坐标为(4,8),
∴OD=4,DB=8,
作AC⊥x轴于点C,作BD⊥x轴于点D,如右图2所示,
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