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专题8二次函数与矩形正方形存在性问题
【例1】(2021?齐齐哈尔)综合与探究
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,连接BC,OA=1,对称轴为直线x=2,点D为此抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线上C、D两点之间的距离是 2 ;
(3)点E是第一象限内抛物线上的动点,连接BE和CE,求△BCE面积的最大值;
(4)点P在抛物线对称轴上,平面内存在点Q,使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形,请直接写出点Q的坐标.
【分析】(1)先由题意得出A,B的坐标,再用待定系数法求出解析式即可;
(2)根据两点的距离公式即可求出CD的长度;
(3)先设出E的坐标,然后将△BCE的面积表示出来,求出最大值即可;
(4)根据对角线的情况分三种讨论,再由矩形的性质求出点Q的坐标.
【解析】(1)∵OA=1,
∴A(﹣1,0),
又∵对称轴为x=2,
∴B(5,0),
将A,B代入解析式得:
,
解得,
∴,自变量x为全体实数;
(2)由(1)得:C(0,),D(2,),
∴CD=,
故答案为2;
(3)∵B(5,0),C(0,),
∴直线BC的解析式为:,
设E(x,),且0<x<5,
作EF∥y轴交BC于点F,
则F(x,),
∴EF=﹣()=,
∴,
当x=时,S△BCE有最大值为;
(4)设P(2,y),Q(m,n),
由(1)知B(5,0),C(0,),
若BC为矩形的对角线,
由中点坐标公式得:,
解得:,
又∵∠BPC=90°,
∴PC2+PB2=BC2,
即:,
解得y=4或y=﹣,
∴n=或n=4,
∴Q(3,)或Q(3,4),
若BP为矩形得对角线,
由中点坐标公式得,
解得,
又∵∠BCP=90°,
BC2+CP2=BP2,
即:,
解得y=,
∴Q(7,4),
若BQ为矩形的对角线,
由中点坐标公式得,
解得:,
又∵∠BCQ=90°,
∴BC2+CQ2=BQ2,
即:,
解得n=,
∴Q(﹣3,﹣),
综上,点Q的坐标为(3,)或(3,4),或(7,4)或(﹣3,﹣).
【例2】(2021?岳阳)如图,抛物线y=ax2+bx+2经过A(﹣1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,连接BC.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)如图2,直线l:y=kx+3经过点A,点P为直线l上的一个动点,且位于x轴的上方,点Q为抛物线上的一个动点,当PQ∥y轴时,作QM⊥PQ,交抛物线于点M(点M在点Q的右侧),以PQ,QM为邻边构造矩形PQMN,求该矩形周长的最小值;
(3)如图3,设抛物线的顶点为D,在(2)的条件下,当矩形PQMN的周长取最小值时,抛物线上是否存在点F,使得∠CBF=∠DQM?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)用待定系数法即可求解;
(2)设点Q的坐标为(x,﹣x2+x+2),则点P的坐标为(x,3x+3),设矩形周长为C,则C=2(PQ+QM)=2[3﹣2x+3x+3﹣(﹣x2+x+2)]=x2﹣x+8,即可求解;
(3)过点D作DK⊥QM于点K,则DK=yD﹣yQ=﹣=,同理可得,QK=1,则tan∠DQM=,在△BOC中,tan∠CBO==,即可求解.
【解析】(1)设抛物线的表达式为y=a(x﹣x1)(x﹣x2),
即y=a(x+1)(x﹣4)=a(x2﹣3x﹣4)=ax2﹣3ax﹣4a,
即﹣4a=2,解得a=﹣,
故抛物线的表达式为y=﹣x2+x+2;
(2)将点A的坐标代入直线l的表达式得:0=﹣k+3,解得k=3,
故直线l的表达式为y=3x+3,
设点Q的坐标为(x,﹣x2+x+2),则点P的坐标为(x,3x+3),
由题意得,点Q、M关于抛物线对称轴对称,而抛物线的对称轴为直线x=,
故点M的横坐标为3﹣x,则QM=3﹣x﹣x=3﹣2x,
设矩形周长为C,则C=2(PQ+QM)=2[3﹣2x+3x+3﹣(﹣x2+x+2)]=x2﹣x+8,
∵1>0,故C有最小值,
当x=时,矩形周长最小值为;
(3)当x=时,y=﹣x2+x+2=,即点Q的坐标为(,),
由抛物线的表达式知,点D的坐标为(,),
过点D作DK⊥QM于点K,
则DK=yD﹣yQ=﹣=,
同理可得,QK=1,
则tan∠DQM=,
∵∠CBF=∠DQM,
故tan∠CBF=tan∠DQM=,
在△BOC中,tan∠CBO==,
故BF和BO重合,
故点F和点A重合,
即点F的坐标为(﹣1,0),
当点F在直线BC的上方时,∵AC=,BC=2,AB=5,
∴AB2=AC2+BC2,
∴∠ACB=90°,
则点A关于BC的对称点A′(1,4),
∴直线BF的解析式为y=﹣x
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