专题12二次函数与动点综合问题-2021年中考数学压轴题汇编（解析版）.docx

PAGE2 / NUMPAGES70 专题12二次函数与动点综合问题 【例1】（2021?黄冈）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点N（n，0）是x轴上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若n＜3，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线BC于点G．过点P作PD⊥BC于点D，当n为何值时，△PDG≌△BNG； （3）如图2，将直线BC绕点B顺时针旋转，它恰好经过线段OC的中点，然后将它向上平移个单位长度，得到直线OB1． ①tan∠BOB1＝　　； ②当点N关于直线OB1的对称点N1落在抛物线上时，求点N的坐标． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由△PDG≌△BNG，得到PG＝BG＝（3﹣n），求出P的坐标为（n，﹣（3﹣n）（1+）），即可求解； （3）①由函数的平移得到函数的表达式为y＝x，即可求解； ②求出直线NN1的表达式为y＝﹣2（x﹣n），得到点H的坐标为（，），由点H是NN1的中点，求出点N1的坐标为（，），即可求解． 【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）， 则y＝a（x﹣3）（x+1）＝ax2﹣2ax﹣3a， 故﹣3a＝﹣3，解得a＝1， 故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3①； （2）①当点N在y轴右侧时， 由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3）， 故OB＝OC＝3，则∠OBC＝∠OCB＝45°， 则NB＝3﹣n＝NG，则BG＝（3﹣n）， ∵△PDG≌△BNG， 故PG＝BG＝（3﹣n）， 则PN＝3﹣n+（3﹣n）＝（3﹣n）（1+）， 故点P的坐标为（n，﹣（3﹣n）（1+））， 将点P的坐标代入抛物线表达式得：（n﹣3）（+1）＝n2﹣2n﹣3， 解得n＝3（舍去）或， 故n＝； ②当点N在y轴左侧时， 同理可得：n＝﹣， 综上，n＝； （3）①设OC的中点为R（0，﹣）， 由B、R的坐标得，直线BR的表达式为y＝x﹣， 则将它向上平移个单位长度，得到直线OB1， 此时函数的表达式为y＝x， 故tan∠BOB1＝， 故答案为； ②设线段NN1交OB1于点H，则OB1是NN1的中垂线， ∵tan∠BOB1＝，则tan∠N1NB＝2， ∵直线NN1的过点N（n，0）， 故直线NN1的表达式为y＝﹣2（x﹣n）②， 联立①②并解得， 故点H的坐标为（，）， ∵点H是NN1的中点， 由中点坐标公式得：点N1的坐标为（，）， 将点N1的坐标代入抛物线表达式得：＝（）2﹣2×﹣3， 解得n＝， 故点N的坐标为（，0）或（，0）． 【例2】．（2021?雅安）已知二次函数y＝x2+2bx﹣3b． （1）当该二次函数的图象经过点A（1，0）时，求该二次函数的表达式； （2）在（1）的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C，点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值； （3）若对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，求实数b的取值范围． 【分析】（1）把点A（1，0）代入解析式，求出b，得到解析式； （2）过点Q作QN⊥AB于点N，利用相似表达出△BPQ的高，然后表示出△BPQ的面积，利用二次函数的性质求出最大面积； （3）分类讨论，函数图象与x轴有一个交点和没有交点时，x≥1的任意实数x，都有y≥0成立，若函数图象与x轴有两个交点，则需满足两交点的横坐标均不大于1，列出不等式即可求b的取值范围． 【解答】解：（1）把点A（1，0）代入y＝x2+2bx﹣3b得：1+2b﹣3b＝0， 解得：b＝1， ∴二次函数的表达式为：y＝x2+2x﹣3． （2）如图1，对函数y＝x2+2x﹣3， 当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1， ∴C（0，﹣3），B（﹣3，0），A（1，0）， ∴AB＝4，OB＝OC＝3，BC＝3， 过点Q作QN⊥AB于点N， ∴sin∠NBQ＝sin∠OBC， ∴， 设运动时间为t，则：BQ＝t，AP＝2t， ∴BP＝4﹣2t，， ∴NQ＝， ∴S△BPQ＝， ∴当t＝1时，△BPQ面积的最大值为． （3）①∵二次函数y＝x2+2bx﹣3b的图象开口向上， ∴当二次函数y＝x2+2bx﹣3b的图象与x轴没有交点或只有1个交点时，x≥1总有y≥0成立（如图2）； 此时△≤0，即（2b）2﹣4（﹣3b）≤0， 解得﹣3≤b≤0； ②当二次函数y＝x2+2bx﹣3b的图象与x轴有2个交点时， Δ＝（2b）2﹣4（﹣3b）＞0，可得b＞0或b＜﹣3， 设此时两交点为（x1，0），（x2，0），则x1+x2＝