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专题2二次函数与直角三角形问题
解直角三角形的存在性问题,一般分三步走,第一步寻找分类标准,第二步列方程,第三步解方程并验根.
一般情况下,按照直角顶点或者斜边分类,然后按照三角比或勾股定理列方程.
有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便.
解直角三角形的问题,常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起.
如果直角边与坐标轴不平行,那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线,可以构造两个新的相似直角三角形,这样列比例方程比较简便.
我们先看三个问题:
1.已知线段AB,以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个?顶点C的轨迹是什么?
2.已知线段AB,以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个?顶点C的轨迹是什么?
3.已知点A(4,0),如果△OAB是等腰直角三角形,求符合条件的点B的坐标.
图1 图2 图3
如图1,点C在垂线上,垂足除外.
如图2,点C在以AB为直径的圆上,A、B两点除外.
如图3,以OA为边画两个正方形,除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点,都是符合题意的点B,共6个.
如图4,已知A(3, 0),B(1,-4),如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上,求点C的坐标.
我们可以用几何的方法,作AB为直径的圆,快速找到两个符合条件的点C.
如果作BD⊥y轴于D,那么△AOC∽△CDB.
设OC=m,那么.
这个方程有两个解,分别对应图中圆与y轴的两个交点.
【例1】(2021?巴中)已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2,0)、B(6,0)两点,与y轴交于点C(0,﹣3).
(1)求抛物线的表达式;
(2)点P在直线BC下方的抛物线上,连接AP交BC于点M,当最大时,求点P的坐标及的最大值;
(3)在(2)的条件下,过点P作x轴的垂线l,在l上是否存在点D,使△BCD是直角三角形,若存在,请直接写出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)将A(﹣2,0)、B(6,0)、C(0,﹣3)代入y=ax2+bx+c即可求解析式;
(2)过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E,过P作PF⊥x轴交直线BC于点F,由PF∥AE,可得=,则求的最大值即可;
(3)分三种情况讨论:当∠CBD=90°时,过点B作GH⊥x轴,过点D作DG⊥y轴,DG与GH交于点G,过点C作CH⊥y轴,CH与GH交于点H,可证明△DBG∽△BCH,求出D(3,6);当∠BCD=90°时,过点D作DK⊥y轴交于点K,可证明△OBC∽△KCD,求出D(3,﹣9);当∠BDC=90°时,线段BC的中点T(3,﹣),设D(3,m),由DT=BC,可求D(3,﹣)或D(3,﹣﹣).
【解答】解:(1)将点A(﹣2,0)、B(6,0)、C(0,﹣3)代入y=ax2+bx+c,
得,
解得,
∴y=x2﹣x﹣3;
(2)如图1,过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E,过P作PF⊥x轴交直线BC于点F,
∴PF∥AE,
∴=,
设直线BC的解析式为y=kx+d,
∴,
∴,
∴y=x﹣3,
设P(t,t2﹣t﹣3),则F(t,t﹣3),
∴PF=t﹣3﹣t2+t+3=﹣t2+t,
∵A(﹣2,0),
∴E(﹣2,﹣4),
∴AE=4,
∴===﹣t2+t=﹣(t﹣3)2+,
∴当t=3时,有最大值,
∴P(3,﹣);
(3)∵P(3,﹣),D点在l上,
如图2,当∠CBD=90°时,
过点B作GH⊥x轴,过点D作DG⊥y轴,DG与GH交于点G,过点C作CH⊥y轴,CH与GH交于点H,
∴∠DBG+∠GDB=90°,∠DBG+∠CBH=90°,
∴∠GDB=∠CBH,
∴△DBG∽△BCH,
∴=,即=,
∴BG=6,
∴D(3,6);
如图3,当∠BCD=90°时,
过点D作DK⊥y轴交于点K,
∵∠KCD+∠OCB=90°,∠KCD+∠CDK=90°,
∴∠CDK=∠OCB,
∴△OBC∽△KCD,
∴=,即=,
∴KC=6,
∴D(3,﹣9);
如图4,当∠BDC=90°时,
线段BC的中点T(3,﹣),BC=3,
设D(3,m),
∵DT=BC,
∴|m+|=,
∴m=﹣或m=﹣﹣,
∴D(3,﹣)或D(3,﹣﹣);
综上所述:△BCD是直角三角形时,D点坐标为(3,6)或(3,﹣9)或(3,﹣﹣)或(3,﹣).
【例2】(2021?毕节市)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,对称轴为直线x=2,顶点为D,点B的坐标为(3,0).
(1)填空:点A的坐标为 (1,0) ,点D的坐标为 (2,﹣1) ,抛物线的解析式为 y=x2﹣4x+3 ;
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