基本不等式(很全面.docx

PAGE PAGE 10 基本不等式 【知识框架】 1、基本不等式原始形式 若a, b ? R ，则a2 ? b2  ? 2ab 若a, b ? R ，则ab ? a 2 ? b 2 2 2、基本不等式一般形式（均值不等式） ab若 a, b ? R* ，则a ? b ? 2 ab 3、基本不等式的两个重要变形 ab若a, b ? R* ，则 a ? b ? ab 2 若a, b ? R* ，则ab ? ? a ? b ?2 ? ? 2? ? 2 特别说明：以上不等式中，当且仅当a 特别说明：以上不等式中，当且仅当a ? b 时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若 x ? 0 ，则 x ? 1 ? 2 (当且仅当 x ? 1 时取“=”） x （2）若 x ? 0 ，则 x ? 1 x ? ?2 (当且仅当 x ? ?1 时取“=”） 若ab ? 0 ，则 a ? b 若a, b ? R ，则 b a ? 2 a ? b (当且仅当a ? b 时取“=”） a2 ? b2 ab ? ( )2 ? 2 2 （5）若a, b ? R* ，则 1 ? ? a ? b ? aba2 ? b221 ? ab a2 ? b2 2 a b 特别说明：以上不等式中，当且仅当 特别说明：以上不等式中，当且仅当a ? b 时取“=” 6、柯西不等式 （1）若a,b, c, d ? R ，则(a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 若a , a , a , b , b , b ? R ，则有： 1 2 3 1 2 3 (a 2 ? a 2 ? a 2 )( b 2 ? b 2 ? b 2 ) ? (a b ? a b ? a b )2 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 2 3 3 设a , a , ??? , a 与b , b , ???, b 是两组实数，则有 1 2 n 1 2 n (a 2 ? a 2 ? ??? ? a 2 )(b 2 ? b 2 ? ??? ? b 2 ) ? (a b a b ? ??? ? a b )2 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n 【题型归纳】 题型一：利用基本不等式证明不等式 ab题目 1、设a, b 均为正数，证明不等式: ≥ 2 ab 1 ? 1 a b 题目 2、已知 a, b, c 为两两不相等的实数，求证： a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca 题目 3、已知a ? b ? c ? 1，求证： a2 ? b2 ? c2 ? 1 3 题目 4、已知a, b, c ? R? ，且a ? b ? c ? 1，求证： (1? a)(1? b)(1? c) ? 8abc ? 1 ?? 1 ?? 1 ? 题目 5、已知a, b, c ? R? ，且a ? b ? c ? 1，求证： ? a ?1?? b ?1?? c ?1? ? 8 ? ?? ?? ? a题目 6、（新课标Ⅱ卷数学（理）设a, b, c 均为正数,且a ? b ? c ? 1,证明: a bc(Ⅰ) ab ? bc ? ca ? 1 ; (Ⅱ) a2 b c 3 b2 c2 ? 1. 题型二：利用不等式求函数值域 1题目 1、求下列函数的值域 1 （1） y ? 3x2 ? 2x2  （2） y ? x(4 ? x) （3） y ? x ? 1 (x ? 0) （4） y ? x ? x 1 (x ? 0) x 题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项） 4 1、已知 x ? 2 ，求函数 y ? 2x ? 4 ? 2x ? 4 的最小值； 变式 1：已知 x ? 2 ，求函数 y ? 2x ? 4 2x ? 4  的最小值； 变式 2：已知 x ? 2 ，求函数 y ? 2x ? 4 2x ? 4  的最大值； 变式 3：已知 x ? 2 ，求函数 y ? 2x ? 4x 2x ? 4  的最大值； 5练习：1、已知 x ? ，求函数 5 4 y ? 4x ? 2 ? 1 的最小值； 4x ? 5 5题目 2、已知 x ? ，求函数 5 4 y ? 4x ? 2 ? 1 的最大值； 4x ? 5 题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数） 题目 1、当时，求 y ? x(8 ? 2x) 的最大值； 变式 1：当时，求 y ? 4x(8 ? 2x) 的最大值； 变式 2：设0 ? x ? 3 2 ，求函数 y ? 4x(3 ? 2x) 的最大值。 x(6 ? 3x)题目 2、若0 ? x(6 ? 3x) 的最大值； x(8 ? 2x)变式：若0 ? x