级数在计算中的应用.doc

【标题】?级数在计算中的应用 【作者】晏炳刚 【关键词】函数??级数??精确计算??近似计算 【指导老师】林昌盛 【专业】数学与应用数学 【正文】1.引言初等函数在一定范围内可展开为级数，级数有许多方便的运算性质，使得它在精确计算和近似计算中有很大的用处，因此我们就必须认识初等函数是怎样展开为级数的.初等函数满足一定条件下都可展开为这几个级数.1.1形如?????????????（1-1）称为幂级数.它是一类最简单的函数项级数，在理论上和实际中都有很多的用处，特别在用它表示函数方面有许多方便的运算性质，因此它在计算中是一个很有用的工具.1.2??具有无穷阶的连续的导数.那么??????（1-2）称为泰勒级数.当?时即有?+????+…????????????????????（1-3）我们称这个级数为麦克劳伦级数.把一个函数用泰勒级数展开，再利用泰勒级数的性质，也会使有些计算方便得多.1.3??在D内解析，a∈D,只要圆k：|z-a|<R含于D,则&NBSP;在圆K内展开成幂级数.?=?，?=?，????????????????????????（1-4）这个级数称为复变函数幂级数，它在计算中也很有用处.下面我分别从级数在精确计算和近似计算来讨论级数的应用.2.级数在精确计算中的应用??2.1计算极限2.1.1用泰勒级数展开式求极限.我们有时用洛比达法则求待定型极限时，会遇到很复杂的运算，而利用泰勒级数求极限却简单得多.例 1?求极限 I=?[?]/ 2?.解:利用??????（2-1）??{[1+100?+??+?][1-40?(-2?)+?(-2?)2+?][1-60 2?]+?-1-60?}/ 2?[(1+100?+4950 2)(1+80?+3280 2)(1-120?+7320 2)+?-1-60?]/ 2?[(8000+4950+3280+7320-21600) 2]/ 2?????可以看出此题若用洛比达法则来求极限将是非常麻烦的，而用级数却简单得多.2.1.2用幂级数展开式求极限??例2?求???解：利用??????????????????????????（2-2）????????????????????????（2-3）则原式=?????因为?收敛域为?，易知?∴???2.1.3?利用级数收敛的必要条件求极限例 3?求极限???(0<A<B)解：构造级数?.?.则???????????????????|?|=?<1.∴此级数绝对收敛，从而?=0.类似方法可求?此题用的是级数的性质：若级数?收敛，则?.此题若用其它方法解将难以下手.所以级数的性质在计算中也很有用处.2.2?用级数来计算级数的和2.2.1利用幂级数在收敛区间内可逐项求导或逐项积分来计算幂级数的和例4求级数?的和.解：令?=??则由幂级数在收敛区间内可逐项求导的性质可知：?=?ˊ= n,从而??????????????=?由幂级数在收敛区间内可逐项积分有：?所以????????????=??=??,?于是????????????令?=1,可得????????????????=?=1??.2.2.2?复变函数级数在三角级数求和中的应用方法：求??及?的和函数，可构造复变函数幂级数?，设法求?的和函数?，令?则有：?+i?=?,根据复数相等的性质有：?=Im(?)，?=Re(?).?例5求?及?的和.解：令??，?，则?+??=?=????=??；?=?.例6??及?的和.解：因为?，令??，（?.则?+i?=?=????????????????=???????????????????=??????????????????????????????????=?????????????????????????????所以????=?，?=?2.3用级数求解微分方程例7?求方程?的解.解：设?，则?，?代人原方程，得????????????????=??=?由幂级数展开式的唯一性得??=?故任意给定?和?可以确定?，?因此????????????2.4?用级数求解积分方程例8?求?使满足方程?.解：对方程求导，则方程可化为?，设?，将其代入上式得??????????????????即?????????????????比较系数得：?，级数?收敛域为?容易验证该级数满足原方程，故???即为所求函数.2.5用级数来计算积分??当?的原函数不能用初等函数的有限形式表示出来时，计算?的定积分就遇到困难，可以利用函数的级数展开来计算这些定积分.具体计算时，要求被积函数能够展开