基本计数原理概念及例题.docx

基本计数原理 12 N1 2 N分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N 类办法，在第一类办法中有M 种不同的方法，在第二类办法中有 M 种不同的方法， ……，在第 N 类办法中有 M 种不同的方法，那么完成这件事情共有 M +M +……+M 1 2 N 1 2 N 2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N 个步骤，做第一 步有 m1种不同的方法，做第二步 有 M 不同的方法，……，做第 N 步有M 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M M ...M 种不同的方法。 2 N 1 2 N 3、排列：从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素，按．照．一．定．顺．序．排成一列，叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的一个排列 4、排列数：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素排成一列，称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一 个排列. 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数，用符号Am 表示。 n Am ? n(n ?1)? (n ? m ?1) ? n! (n ? m)! (m ? n, n, m ? N ) 5、公式： ， Am n  ? nAm?1 n?1 6、组合：从 n 个不同的元素中任取 m(m≤ n)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一 A m ? Am ? Am ?C m ?1? Am ?mAm ?1 个组合。 n?1 n m n n n AmAm n(nn(n? 1?)1?)?(n(n? ?mm? 1?)1) n!n! 7、公式：CCm ?m ? n n? ? CCm ?m ? n n AmAm m m m!m! n n m!m(n!(?n ?mm)!)! ? ;C m C n ? ; n n C m?1?C m ?C m n n n?1 8、二项式定理： (a ? b) n ? C0 a n C1 a n?1 b ? C2 a n?2 b2 … ? Cr a n?r br … ? Cn bn n n n n n展开9、式二的项通式项通项公公式式：T ? Cr a n?r b n n n n n r?1 n (r ? 0，1……n) 10、二项式系数Cr 为二项式系数（区别于该项的系数） n 11、杨辉三角： （1）对称性：Cr  ? Cn?r ?r ? 0，1，2，……，n? n n （2）系数和：C0 ? C1 ? … ? Cn ? 2 n n n n （3）最值：n 为偶数时，n＋1 为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第 ? n ? 1? 项，二项式系数为C n ；n为奇数时，(n ? 1)为偶数，中间两项的二项式 ? ? 2 ? 2 ? n 系数最大即第 n ? 1 项及第 n ? 1 ? 1项，其二项式系数为C n?1 ? C n?1 2 2 2 2 n n 排列组合例题 1．(2010?山东潍坊)6 个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4 人，则不同的乘车方法数为( ) A．40 B．50 C．60 D．70 [答案] B [解析] 先分组再排列，一组2 人一组 4 人有 C26＝15 种不同的分法；两组各3 人共有 C36A22＝10 种不同的分法，所以乘车方法数为 25×2＝50，故选 B. 有 6 个座位连成一排，现有 3 人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( ) A．36 种 B．48 种 C．72 种 D．96 种 [答案] C [解析] 恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共 A33A24＝72 种排法，故选 C. 只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( ) A．6 个 B．9 个 C．18 个 D．36 个 [答案] C [解析] 注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C13＝3(种)选法，即 1231,1232,1233，而每种选择有 A22×C23＝6(种)排法，所以共有 3×6＝18(种)情况， 即这样的四位数有 18 个． 男女学生共有 8 人，从男生中选取 2 人，从女生中选取 1 人，共有 30 种不同的选法，其中女生有( ) A．2 人或 3 人 B．3 人或 4 人 C．3 人 D．4 人 [答案] A [解析] 设男生有n 人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2nC18－n＝30，解得 n＝5 或 n＝6，代入验证， 可知女生为 2 人或 3 人． 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共 10 级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用 8 步走完，则方法有( ) A