11 专题十一：乘法公式与几何图形面积.docx

专题十一：乘法公式与几何图形面积 专题导入 你能根据图下图中图形的面积分别说明平方差公式及完全平方公式吗？ 图1 图2 方法点睛 把1个或几个图形通过剪拼的方式，组合成一个新的图形，通过计算新旧图形面积可以得到一些等式。通过观察和研究这个等式的左右两边，可以验证整式乘法的法则或公式. 典例精讲 1．如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形． （1）图2中的阴影正方形边长为 　 　（用含a，b的式子表示）； （2）由图2可以直接写出（a+b）2，（b﹣a）2，ab之间的一个等量关系是 　 　； （3）根据（2）中的结论，解决下列问题：x+y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值． 举一反三 2．如图，一块直径为（a+b）的圆形卡纸，从中挖去直径分别为a、b的两个圆，则剩下的卡纸的面积为（　　） A．π(a2+b2 C．πab2 D． 3．实践与探索：如图1，边长为a的大正方形里有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． （1）上述操作能验证的等式是：　 　（请选择正确的一个） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2+ab＝a（a+b） （2）请应用这个等式完成下列各题： ①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝　 　． ②计算：9（10+1）（102+1）（104+1）（108+1）（1016+1）． 专题过关 4．如图，四边形ABCD与ECGF是两个边长分别为a，b的正方形， （1）用a，b表示△BGF的面积的代数式S1＝　 　； （2）求出阴影部分的面积的代数式S2（用a，b表示） （3）当a＝4cm，b＝6cm时，阴影部分的面积． 5．将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），解答下列问题： （1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1＝　 　，S2＝　 　；（不必化简） （2）由（1）中的结果可以验证的乘法公式是 　 　； （3）利用（2）中得到的公式，计算：20212﹣2020×2022． 6．如图，将一个边长为a+b的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请用两种方法表示该图形的总面积（用含a、b的代数式表示出来）； （2）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝57，ab＝12，求a+b的值． 7．如图1，长方形的两边长分别为m+3，m+13；如图2的长方形的两边长分别为m+5，m+7．（其中m为正整数） （1）写出两个长方形的面积S1，S2，并比较S1，S2的大小； （2）现有一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等．试探究该正方形的面积与长方形的面积的差是否是一个常数，如果是，求出这个常数；如果不是，说明理由． （3）在（1）的条件下，若某个图形的面积介于S1，S2之间（不包括S1，S2）且面积为整数，这样的整数值有且只有19个，求m的值． 8．如图，哈市新城小区有一块长为（2a+3b）米，宽为（2a﹣3b）米的长方形地块，角上有四个边长为（a﹣b）米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化． （1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积；（结果写成最简形式）； （2）若a＝20，b＝10，求出当时绿化的总面积； （3）在（2）的条件下，开发商找来甲、乙两绿化队完成此项绿化任务．已知甲队每小时可绿化6平方米，乙队每小时绿化4平方米，若要求甲队的工作时间不超过乙队的工作时间，则甲队至多工作多少小时？ 【参考答案】 1．解：（1）b﹣a； （2）（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab； （3）由（2）题中的结论（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab可得， （b﹣a）2＝（a+b）2﹣4ab， ∴当x+y＝8，xy＝2时， （x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝82﹣4×2＝64﹣8＝56． 2．C． 3．解：（1）A； （2）①4， ②∵9（10+1）（102+1）（104+1）（108+1）（1016+1） ＝（10﹣1）（10+1）（102+1）（104+1）（108+1）（1016+1）， ∴由（1）题结果可得， 原式＝（102﹣1）（102+1）（104+1）（108+1）（1016+1） ＝（104﹣1）（104+1）（108+1）（1016+1） …… ＝1032﹣1． 4．解：（1）∵BG＝BC+CG＝a+b，FG＝b， ∴S1=12FG?BG=12b（a+b）= （2）两个正方形的面积