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m
o
手.c 第一章 绪论
助hou 第二章 函数
霸us 第一节 函数概念
学
1.证明下列不等式：
h
z
(1) x− y ≥ x − y ;
ba
证明：对于∀x, y∈ ℝ,总有 x y ≥ xy;于是− x y ≤ −xy.
e
u 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x又由于 x = x , y = y , 那么 x − 2 x y + y ≤ x − 2xy+ y ,即( x − y ) ≤ (x− y) ;
开方后即得 x− y ≥ x − y .
(2). x + x + ⋯+ x ≤ x + x + ⋯+ x ;
1 2 n 1 2 n
证明：使用数学归纳法；
对于∀ ∈ ℝ 总有 ≥ 于是有 2 + + 2 ≥ 2 + + 2
i. x, y , x y xy, x 2 x y y x 2xy y ;
整理后可得 + ≥ + ，即当 = 时所证成立。
x y x y n 2
ii.假设当n= k时所证不等式也成立，即 x + x + ⋯+ x ≤ x + x + ⋯+ x .
1 2 k 1 2 k
m
手o
iii.当n= k+ 1时,取y= x + x + ⋯+ x , 于是有：
1 2 k c
⋯ x + x = y+ x.
x + x + + 助
1 2 k k+1 k+1
u
≤ y + x
霸ho k+1
= x + x + ⋯+ x + x
学us 1 2 k k+1
≤ x + x + ⋯+ x + x
zh 1 2 k k+1
即当n= k+ 1时所证不等式也成立。
ba
那么由数学归纳法可知题证成立。
e
u
(3). x + x + ⋯x + x ≥ x − ( x + x + ⋯+ x ).
x
1 2 n 1 2 n
证明：易知对于∀x, y∈ ℝ,总有 x+ y ≥ x − y ;于是可得
x + x + ⋯x + x ≥ x − x + x + ⋯x
1 2 n 1 2 n
又由于 x + x + ⋯x ≤ x + x +
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