“一元二次方程根与系数关系”的种种应用.pdf

“一元二次方程根与系数关系 ”的种种应用 山东 徐义 对于一元二次方程 ax2 +bx+c ＝0 （a ≠0），当判别式 Δ＝b2 －4ac ≥0时，其求根公式为： x 2 b b 4ac b ＝ ；若两根为 x ，x ，当 Δ≥0时，则两根的关系为： x +x ＝－ ，x ·x 1 2 1 2 1 2 2a a c ＝ ，根与系数的这种关系又称为根与系数关系；它的逆定理也是成立的，即当 x 1 +x2 ＝－ a b c 2 ，x ＝ 时，那么 x ，x 则是 ax 1 x·2 1 2 +bx+c ＝0 （a ≠0）的两根 . a a 一元二次方程的根与系数的关系， 综合性强， 应用极为广泛， 在中学数学中占有极重要 的地位，也是数学学习中的重点 .学习中，除了要能灵活地应用根与系数关系解答一些变式 题目外，还要能借助于一元二次方程 ax2+bx+c ＝0 （a ≠0）根的判别式 Δ＝b2 －4ac 存在的三 种情况，以及应用求根公式求出方程 ax2+bx+c ＝0 （a ≠0）的两个根 x ，x ，进而分解因式， 1 2 即 ax2+bx+c ＝a(x －x )(x －x ).现就对应用根与系数关系可能出现的问题举例剖析， 希望能给 1 2 同学们的学习带来帮助 . 一、求代数式的值 例 1 （2016 年宜宾市） 已知一元二次方程 x2 +3x －4 ＝0 的两根为 x ，x ，则 x 2 + x x + x 2 1 2 1 1 2 2 ＝________. 解析： ∵一元二次方程 x 2 ，x ，∴x ＝－3 ，x ＝－ 4 ，∴x 2 +3x －4 ＝0 的两根为 x 1 2 1+x2 1 ·x2 1 + 2 2 2 x x + x ＝ (x +x ) －x x ＝( －3) － (－4) ＝13，故答案为： 13. 1 2 2 1 2 1 2 点评：求解此类问题时，一方面要注意避免 “－ ”的干扰；另一方面，一定要注意熟记以 下 关 系