数值分析 Chapter 2 插值法 华中科技大学研究生课程.pdf

第二章 插值 /* Interpolation */ §1 引 言 许多实际问题都用函数y  f ( x ) 来表示某种内在规 律的数量关系，其中相当一部分函数是通过实验或计算 得到的,并且只是[a , b ]上一系列点 的函数值 x i y i  f ( x i ) ( i  0 ,1 ,  , n ) 这只是一张函数表。有的问题虽有解析表达式，但由于 计算复杂，使用不方便，通常也造一个函数表，比如平 方根表、立方根表、对数表和三角函数表等等。为了研 究函数的变化规律，往往需要求不在表上的函数值。因 此，我们希望根据给定的函数表做一个既能反映函数 f ( x ) p ( x ) p ( x ) f ( x ) 的特性，又便于计算的简单函数 , 用 近似 。 §1 Introduction 如：通常用代数多项式或分段代数多项式作为p ( x ) ,并使 p ( x i )  f ( x i ) 对 i  0 ,1 ,  , n 成立。这样确定的 p ( x ) 就是我们希望得到的插值函数。 f ( x ) p ( x ) p (x) f (x) x x x x x x 0 1 2 3 4 插值法定义 §1 Introduction 设函数y  f ( x ) 在区间[a , b 上有定义，且 ] a  x  x    x  b 0 1 n 已知在点x 0 , x 1 , , x n 上的值 y 0 , y 1 , , y n 若存在一简单函数 p ( x ) ，使 p ( x i )  y i , i  0 , 1, 2 , n ( 2 . 1 ) p ( x ) x , x , x 称为 成立，就称 为 的插值函数，点 f ( x ) 0 1 n 插值节点，包含插值节点的区间[a , b ]称为插值区间， p ( x ) （2.1）称为插值条件，求插值函数 的方法称为插值法。 p ( x ) 若 为次数不超过 的代数多项式，即 n p ( x )  a 0  a 1 x    a n x n