考点34 圆的方程-高考全攻略之备战高考数学（文）考点一遍过含解析.docVIP

（1）掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. （2）能用圆的方程解决一些简单的问题. 一、圆的方程 圆的标准方程 圆的一般方程 定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径 方程 圆心 半径 区别与 联系 （1）圆的标准方程明确地表现出圆的几何要素，即圆心坐标和半径长； （2）圆的一般方程的代数结构明显，圆心坐标和半径长需要通过代数运算才能得出； （3）二者可以互化：将圆的标准方程展开可得一般方程，将圆的一般方程配方可得标准方程 注：当D2+E2－4F = 0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F = 0表示一个点；当D2+E2－4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F = 0没有意义，不表示任何图形． 二、点与圆的位置关系 标准方程的形式 一般方程的形式 点（x0，y0）在圆上 点（x0，y0）在圆外 点（x0，y0）在圆内 三、必记结论 （1）圆的三个性质 ①圆心在过切点且垂直于切线的直线上； ②圆心在任一弦的中垂线上； ③两圆相切时，切点与两圆心三点共线． （2）两个圆系方程 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程． ①同心圆系方程：，其中a，b为定值，r是参数； ②半径相等的圆系方程：，其中r为定值，a，b为参数． 考向一 求圆的方程 1．求圆的方程必须具备三个独立的条件．从圆的标准方程来看，关键在于求出圆心坐标和半径，从圆的一般方程来讲，能知道圆上的三个点即可求出圆的方程，因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法． 2．用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”，“半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”． 典例1 圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是 A． B． C． D． 【答案】C 故选C. 【名师点睛】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于基础题.设出圆心坐标，利用半径为1，且过点，即可求得结论. 1．已知圆，为坐标原点，则以为直径的圆的方程为 A． B． C． D． 考向二 与圆有关的对称问题 1．圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称． 2．圆关于点对称： （1）求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置; （2）两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． 3．圆关于直线对称： （1）求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置; （2）两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线． 典例2 （1）已知圆C1：（x+1）2+（y－1）2 =1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1=0对称，则圆C2的方程为 A． B． C． D． （2）若圆（x+1）2+（y－3）2=9上相异两点P，Q关于直线kx+2y－4=0对称，则k的值为_________． 【答案】（1）B；（2）2． （2）已知圆（x+1）2+（y－3）2=9的圆心为（－1，3）， 由题设知，直线kx+2y－4=0过圆心，则k×（－1）+2×3－4=0，解得k=2． 2．圆关于直线对称的圆的方程为，则实数a的值为 A．0 B．1 C．±2 D．2 考向三 与圆有关的轨迹问题 1．求轨迹方程的步骤如下： 建系，设点：建立适当的坐标系，设曲线上任一点坐标． 写集合：写出满足复合条件P的点M的集合． 列式：用坐标表示，列出方程． 化简：化方程为最简形式． 证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 2．求与圆有关的轨迹方程的方法 典例3 已知点P（2,2），圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点． （1）求点M的轨迹方程； （2）当|OP|＝|OM|时，求直线l的方程及的面积． 【答案】（1）M的方程为（x－1）2＋（y－3）2＝2；（2）l的方程为y＝－eq \f(1,3)x＋eq \f(8,3)，的面积为eq \f(16,5)． 【解析】（1）圆C的方程为x2＋（y－4）2＝16，圆心为（0,4），半径r＝4． 设M（x，y），则． 由题设可知，即：,即（x－1）2＋（y－3）2＝2， 由于点P在圆C的内部， 所以点M的轨迹方程为（x－1）2＋（y－3）2＝2． 3．已知点，圆：，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点. （1）求的轨迹方程； （2）当时，求的方程及的面积. 考向四 与圆有关的最值问题 对于圆中的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值．特别地，要利用圆的几何性质