考点27 基本不等式-高考全攻略之备战高考数学（理）考点一遍过含解析.docVIP

基本不等式： （1）了解基本不等式的证明过程. （2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 一、基本不等式 1．基本不等式： （1）基本不等式成立的条件：. （2）等号成立的条件，当且仅当时取等号． 2．算术平均数与几何平均数 设，则a、b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3．利用基本不等式求最值问题 （1）如果积xy是定值P，那么当且仅当时，x＋y有最小值是.(简记：积定和最小) （2）如果和x＋y是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) 4．常用结论 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 二、基本不等式在实际中的应用 1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等． 题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解； 2．经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及 等． 解答函数应用题中的最值问题时一般利用二次函数的性质，基本不等式，函数的单调性或导数求解． 考向一 利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值的常用技巧： （1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式． （2）若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．常见的变形手段有拆、并、配. ①拆——裂项拆项 对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件． ②并——分组并项 目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值． ③配——配式配系数 有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值. （3）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致.注：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解. 典例1 若正数a，b满足，则的最小值为 A．1 B．6 C．9 D．16 【答案】B 【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 1．（1）已知，求函数的最大值； （2）已知(正实数集)，且，求的最小值． 考向二 基本不等式的实际应用 有关函数最值的实际问题的解题技巧： （1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． （2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． （3）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围． （4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解. 典例2 2017年，在国家创新驱动战略下，北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型的创新平台，1400多个北斗基站遍布全国，上万台设备组成星地“一张网”，国内定位精度全部达到亚米级，部分地区达到分米级，最高精度甚至可以达到厘米或毫米级.最近北斗三号工程耗资元建成一大型设备，已知这台设备维修和消耗费用第一年为元，以后每年增加元（是常数），用表示设备使用的年数，记设备年平均维修和消耗费用为，即(设备单价设备维修和消耗费用）设备使用的年数． （1）求关于的函数关系式； （2）当，时，求这种设备的最佳更新年限． 答：这种设备的最佳更新年限为15年． 【名师点睛】利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的问题背景，通过相关的关系建立关系式.在解题过程中尽量向模型上靠拢. 2．要制作一个体积为，高为的有盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米10元，侧面造价是每平方米5元，盖的总造价为100元，求该容器长为多少时，容器的总造价最低为多少元？ 考向三 基本不等式的综合应用 基本不等式是高考考查的热点，常以选择题、填空题的形式出现．通常以不等式为载体综合考查函数、方程、三角函数、立体几何、解析几何等问题．主要有以下几种命题方式： （1）应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解． （2）条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解． （3）求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围. 典例3 下列不等式一定成立的是 A． B． C．